CF1468L - Prime Divisors Selection
题目大意
对于一个序列\(A\)，一个合法的质因子序列\(P\)满足\(\forall P_i|A_i,P_i\ is\ a\ prime\)
给定一个序列\(a_i,i\in[1,n]\)，求选出\(k\)个数，使得对于选出的序列\(A\)
不存在一个\(P\)使得\(P\)中某个元素恰好出现一次
\(n\leq 1000,a_i\leq 10^{18}\)
分析
由题目的意思我们知道肯定要分解质因数
Pollard's_Rho!!!
\(10^{18}\)分解质因数可不是开玩笑的。。。
所以先考虑合法\(A\)的判定
判定\(A\)合法
假设可以存在一个元素恰好出现一次\(x\)，那么在\(A\)所有元素质因子中至少要包含一个\(x\)
并且，不存在两个元素只包含\(x\)
也就是说，对于合法的\(A\)中出现的所有质因子\(x\)，都必须存在两个元素只包含\(x\)
我们称只包含\(x\)作为质因子的元素为\(x\)-元素，为了构造合法的\(A\)，我们必须对于一些\(x\)选出若干对\(x\)-元素
对于每个\(x\)，我们只把前两个\(x-\)元素视为有效，假设有\(c\)对这样的元素
那么情况分几种
1.\(2|k,2c\ge k\)，那么直接随意选完即合法
2.\(2c\ge k,2\not |k\)，此时我们需要选出部分对，使得剩下的元素中存在一个数它的因子集已经被选
枚举剩下一个元素，判定合法即可
3.\(2c\leq k\)，此时可以将\(c\)对全部选出，判断是否还存在\(k-2c\)个可以选择即可
质因数分解
亲身试验，我的Pollards_Rho它T飞了
容易发现，对于\(x-\)元素我们只需要找到它的\(a_i=x^k\)
对于其他元素我们只需要找到\(a_i\)对应的\(x\)的集合，或者判断无法被\(x-\)元素集合包含
由于\(n\leq 1000\)，我们可以先得到\(x-\)元素集合，其他元素我们最后一个个判定
找到\(a_i=x^k\)问题简化了很多
如果你相信std::pow，可以直接来
只需要找到一个最小的\(k'\)，使得\(a_i=x'^{k'}\)，判定\(x'\)是否为质数，如果是则停止，否则继续分解\(x'\)
对于\(k'\leq 3\)，甚至更大一些的情况，std::pow比较可信
而\(k'>3\)的情况（实际上\(k'=4\)被\(k'=2\)包含，所以是\(k'\ge 5\)）
实际上\(x'\)已经很小了，直接枚举质数即可
素数判定依然需要\(\text{Miller_Rabin}\)，但是至少不用Pollards_Rho了
const int N=1e5+10;
int n,m;
int pri[N],pc,notpri[N];
ll qmul(ll x,ll y,ll P){
ull z=(long double)x/P*y+0.5;
ll res=(ull)x*y-z*P; Mod2(res);
return res;
}
ll qpow(ll x,ll k,ll P){
ll res=1;
for(;k;k>>=1,x=qmul(x,x,P)) if(k&1) res=qmul(res,x,P);
return res;
}
int Miller_Rabin(ll n){
if(n<N) return !notpri[n];
if(~n&1) return 0;
ll s=n-1,t=0;
while(s%2==0) s/=2,t++;
rep(k,1,7) {
ll a=qpow(pri[rand()%pc+1],s,n),b;
rep(i,1,t) {
b=qmul(a,a,n);
if(b==1 && a!=1 && a!=n-1) return 0;
a=b;
}
if(a!=1) return 0;
}
return 1;
}
ll a[N],mk[N];
vector <ll> F[N]; // Factor Set of each element
vector <ll> IF; // Independent Factor Set
void unique(vector <ll> &a){ sort(a.begin(),a.end()),a.erase(unique(a.begin(),a.end()),a.end()); }
map <ll,vector<int> > M;
ll ans[N];
void Outp(){
rep(i,1,m) ans[i]=a[ans[i]];
sort(ans+1,ans+m+1);
rep(i,1,m) printf("%lld ",ans[i]);
exit(0);
}
ll Root2(ll n){
ll x=round(sqrt(n));
return x*x==n?x:-1;
}
ll Root3(ll n){
ll x=round(pow(n,1./3));
return x*x*x==n?x:-1;
}
ll KDivide(ll x){
if(Miller_Rabin(x)) return x;
ll y;
if(~(y=Root2(x))) return KDivide(y);
if(~(y=Root3(x))) return KDivide(y);
ll U=pow(x,1./5)+4;
vector <ll> fac;
for(int i=1;pri[i]<=U;++i) if(x%pri[i]==0) {
while(x%pri[i]==0) x/=pri[i];
fac.pb(pri[i]);
}
if(fac.size()==1 && x==1) return fac[0];
return -1;
}
int main(){
rep(i,2,N-1) if(!notpri[i]) {
pri[++pc]=i;
for(int j=i+i;j<N;j+=i) notpri[j]=1;
}
n=rd(),m=rd();
rep(i,1,n) {
ll x=KDivide(a[i]=rd<ll>());
if(~x) IF.pb(x);
}
unique(IF);
rep(i,1,n) {
ll x=a[i];
for(ll y:IF) if(x%y==0) {
while(x%y==0) x/=y;
F[i].pb(y);
}
if(x>1) F[i].pb(-1),F[i].pb(-2); // invalid factor, emm... to avoid some situation we push two
if(F[i].size()==1 && M[F[i][0]].size()<2) M[F[i][0]].pb(i),mk[i]=1;
}
int c=0;
for(auto i:M) if(i.second.size()>=2) c++;
if(m%2==0 && c*2>=m) {
// choose k/2 pairs!!
int k=m;
for(auto i:M) if(i.second.size()>=2) {
if(!k) break;
rep(j,0,1) ans[k--]=i.second[j];
}
Outp();
}
if(c*2>=m) {
// find another
rep(i,1,n) if(!mk[i] && (int)F[i].size()<=m/2) {
int f=1;
for(ll x:F[i]) if(M[x].size()<2) f=0;
if(f) {
int k=m;
ans[k--]=i;
for(ll x:F[i]) {
rep(j,0,1) ans[k--]=M[x][j];
M.erase(x);
}
for(auto i:M) if(i.second.size()>=2) {
if(!k) break;
rep(j,0,1) ans[k--]=i.second[j];
}
Outp();
}
}
} else {
int k=m;
for(auto i:M) if(i.second.size()>=2) {
if(!k) break;
rep(j,0,1) ans[k--]=i.second[j];
}
// Count if we have left much enough...
rep(i,1,n) if(!mk[i]) {
if(!k) break;
int f=1;
for(ll x:F[i]) if(M[x].size()<2) f=0;
if(f) ans[k--]=i;
}
if(!k) Outp();
}
puts("0");
}