[Arc062] Painting Graphs with AtCoDeer
Description
给定一张N点M边的无向图，每条边要染一个编号在1到K的颜色。你可以对一张染色了的图进行若干次操作，每次操作形如，在图中选择一个简单环（即不经过相同点的环），并且将其颜色逆时针旋转一个单位。形式的说，假设你选择的环上的边按顺序依次是e1, e2, ... ,ek，那么经过一次操作后ei mod n+1的颜色会变成操作前ei的颜色。两种染色方案被认为是本质相同的，当且仅当其中一种染色后
的图经过若干次操作后可以变成另一种染色后的图。问有多少本质不同的染色方案，输出对109+7取模。
Input
第一行三个正整数N M K
接下来M行每行两个正整数表示图中的一条边。
Output
输出一行一个非负整数表示答案。
Sample Input
Sample Input 1
4 4 2
1 2
2 3
3 1
3 4
Sample Input 2
5 2 3
1 2
4 5
Sample Input 3
11 12 48
3 1
8 2
4 9
5 4
1 6
2 9
8 3
10 8
4 10
8 6
11 7
1 8
Sample Output
Sample Output 1
8
Sample Output 2
9
Sample Output 3
569519295
HINT
1≤N≤50
1≤M, K≤100
试题分析
首先对于每条不在任何环中的边，其贡献是\(K\)倍，因为它可以染任意颜色并且不与其它边交换。
那么剩下的就是若干个边互不相交的极大点双联通分量，肯定分别来求。
考虑一个大小为4的环，中间对角线有一条边，那么猜想它的任意两条边都可以交换。
分类讨论证明，即证明如上描述图中的一条长度为3的链，可以任意像大小为3的环那样交换，并证明如上描述图中4环上的一条边能与对角线交换，即可证明可以随意交换。
画个图就是长成下面这个样子：
但是还剩下“裸环”的情况，这就是裸的\(Polya\)定理了，简述一下\(Polya\)定理： $$Ans=\frac{1}{|G|}(m{c(f_1)}+m{c(f_2)} \ldots m{c{f_G}})$$
其中\(c(x)\)即为循环个数，由\(Burnside\)引理中的“不动点”个数求出，“不动点”个数即为循环个数乘上颜色数，因为循环各个独立，只要保证一个循环中所有点都是同种颜色的即可。
另外，\(c(x)=gcd(i,G)\)，证明请见：link
对于点双联通分量不是“裸环”的情况组合数隔板法即可。
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<stack>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define LL long long
inline LL read(){
LL x=0,f=1; char c=getchar();
for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
return x*f;
}
const LL INF = 2147483600;
const LL MAXN = 100010;
const LL Mod = 1e9+7;
LL N,M,K; LL cnt;
struct edge{
LL u,v; edge(LL uu=0,LL vv=0){
u=uu; v=vv;
}
}edg[MAXN+1];
LL fac[MAXN+1],ifac[MAXN+1],inv[MAXN+1];
LL Node[MAXN<<1],Next[MAXN<<1],Root[MAXN<<1];
LL sz[MAXN+1]; bool inq[MAXN+1];
vector<edge> vec[MAXN+1];
LL fa[MAXN+1]; bool vis[MAXN+1];
LL tim,col,top; LL q[MAXN+1];
inline LL Pow(LL a,LL b){
LL res=1; for(;b;b>>=1,a=a*a%Mod) if(b&1) res=res*a%Mod; return res;
}
inline void insert(LL u,LL v){
Node[++cnt]=v; Next[cnt]=Root[u]; Root[u]=cnt; return ;
} LL dfn[MAXN+1],low[MAXN+1],sta[MAXN+1];
LL ans=1;
inline LL gcd(LL a,LL b){
if(!b) return a; return gcd(b,a%b);
}
inline LL Polya(LL sz){
//cout<<"Polya:"<<sz<<endl;
LL res=0; for(LL i=1;i<=sz;i++) (res+=Pow(K,gcd(i,sz)))%=Mod;
return res*Pow(sz,Mod-2)%Mod;
}
inline LL C(LL n,LL m){
if(n<m) return 0; if(!m) return 1;
return fac[n]*ifac[m]%Mod*ifac[n-m]%Mod;
}
inline void dfs(LL k,LL fa){
dfn[k]=low[k]=++tim; sta[++top]=k;
for(LL x=Root[k];x;x=Next[x]){
LL v=Node[x];
if(v==fa) continue;
if(!dfn[v]){
dfs(v,k); low[k]=min(low[k],low[v]);
if(dfn[k]<=low[v]){
LL tp=0,sz=0; ++col;
memset(vis,false,sizeof(vis));
while(q[tp]!=v){
vis[sta[top]]=1; q[++tp]=sta[top]; --top;
} vis[k]=1; q[++tp]=k;
for(LL j=1;j<=tp;j++)
for(LL x1=Root[q[j]];x1;x1=Next[x1])
if(vis[Node[x1]]) ++sz;
sz>>=1;
if(sz<tp) ans=ans*K%Mod;
else if(tp==sz) ans=ans*Polya(sz)%Mod;
else ans=ans*C(sz+K-1,K-1)%Mod;
}
} else {
low[k]=min(low[k],dfn[v]);
}
} return ;
}
int main(){
//freopen(".in","r",stdin);
//freopen(".out","w",stdout);
N=read(),M=read(),K=read(); //LL ans=1;
fac[0]=1;
for(LL i=1;i<=MAXN;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%Mod;
inv[1]=ifac[0]=ifac[1]=1;
for(LL i=2;i<=MAXN;i++) inv[i]=(Mod-(Mod/i))*inv[Mod%i]%Mod,ifac[i]=ifac[i-1]*inv[i]%Mod;
for(LL i=1;i<=M;i++){
LL u=read(),v=read();
insert(u,v); insert(v,u);
edg[i].u=u; edg[i].v=v; //E[u][v]=E[v][u]=true;
}
for(LL i=1;i<=N;i++)
if(!dfn[i]) dfs(i,0);
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}