第一个问题：我们都知道一个二进制8位能表示的最大值是 1111 1111 == 255，但为什么最大表示到127？

因为对于计算机来说，一个二进制的数字它的最高位是符号位，0表示正数，1表示负数。
所以 1111 1111 表示的 -127， 而 0111 1111 表示的是127，范围区间应该是[-127,127]之间。那么第二个问题来了

第二个问题：我们都知道一个Byte能表达的数字范围是[-128,127]，那么这个-128是怎么来的呢？

这里面就涉及到计算机的原码、反码、和补码的相关知识了。

正数：

原码 == 反码 == 补码
即：原：0000 0001 ----- 反： 0000 0001 ------ 补：0000 0001

负数：

反码 == 原码的非符号位取反
补码 == 反码+1

即 原： 1000 0001 ------ 反： 1111 1110 ------ 补： 1111 1111

原码、反码、补码都可以表示同一个数字

计算机内部是用补码来存储一个数的

为什么要用补码来存呢？
既然规定了最高位是符号位，那么对于一个人来说正常的加减一个数（比如： 0010 1101 + 0111 1100， 0001 1011 - 1011 0011）可以把这个二进制转成带符号的十进制自然进行加减。
而对于计算机来说，同样需要识别符号位来判断是要加还是要减，也就这样势必会加大计算机的复杂性。因此希望符号位也可以参与到运算中，也就是 100 - 50 == 100 + (-50)。把减法也可以转化成加法。

这里举一个最简单的例子：

1-1 == 1+(-1) == 0
那如果是两个原码相加是什么样的
0000 0001
+
1000 0001
=
1000 0010 == -2 结果肯定是不正确的

那如果两个反码相加
0000 0001
+
1111 1110
=
1111 1111 转成原码 就是 1000 0000 == -0 负0
结果没有问题，但从数学的角度来说，一个整数包括负整数，0，正整数，而这里出现了负0，-0和0其实都表示0，但是这里从编码来说却出现了两个值， 1000 0000 和 0000 0000

最后看下两个补码相加
0000 0001
+
1111 1111
=
0000 0000 （超过8位的值被截掉） 转成原码 还是 0000 0000 =0，
可以看出，结果不仅正确，还同时解决了正负0的问题。
而对于补码的加运算来说，是不可能出现1000 0000的情况，因为两数相加想出现1000 0000的情况，就必然是两个正数相加（如 0000 0001 + 0111 1111 = 1000 0000），而两个正数相加是肯定不会出现负数的，所以1000 0000这个数肯定不会相加出现。

因此计算机规定，补码：1000 0000 就表示 -128

所以8位二进制数可表达的范围是[-2^7, 2^7-1]=[-128,127]
所以总结一下，补码不仅能正确的运算，同时还可以多表示一个最低位，所以计算机用补码来存储数字。

同理，16位，32位等等的其他二进制位的表示范围也就是[-2^15, 2^15-1], [-2^31, 2^31-1]

作者：想起个帅气的头像
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最后，如果是无符号的话，byte最大可以表示255的整数