SGD
此处的SGD指mini-batch gradient descent，关于batch gradient descent, stochastic gradient descent, 以及 mini-batch gradient descent的具体区别就不细说了。现在的SGD一般都指mini-batch gradient descent。
SGD就是每一次迭代计算mini-batch的梯度，然后对参数进行更新，是最常见的优化方法了。即：
其中，η是学习率，gt是梯度
SGD完全依赖于当前batch的梯度，所以η可理解为允许当前batch的梯度多大程度影响参数更新
缺点：（正因为有这些缺点才让这么多大神发展出了后续的各种算法）
- 选择合适的learning rate比较困难
- 对所有的参数更新使用同样的learning rate。对于稀疏数据或者特征，有时我们可能想更新快一些对于不经常出现的特征，对于常出现的特征更新慢一些，这时候SGD就不太能满足要求了
- SGD容易收敛到局部最优，在某些情况下可能被困在鞍点【但是在合适的初始化和学习率设置下，鞍点的影响其实没这么大】
Momentum
momentum是模拟物理里动量的概念，积累之前的动量来替代真正的梯度。公式如下：
其中，μ是动量因子
特点：
- 下降初期时，使用上一次参数更新，下降方向一致，乘上较大的μ能够进行很好的加速
- 下降中后期时，在局部最小值来回震荡的时候，gradient→0，μ使得更新幅度增大，跳出陷阱
- 在梯度改变方向的时候，μ能够减少更新
总而言之，momentum项能够在相关方向加速SGD，抑制振荡，从而加快收敛
Nesterov
nesterov项在梯度更新时做一个校正，避免前进太快，同时提高灵敏度。
将上一节中的公式展开可得：
可以看出，mt−1并没有直接改变当前梯度gt，所以Nesterov的改进就是让之前的动量直接影响当前的动量。即：
所以，加上nesterov项后，梯度在大的跳跃后，进行计算对当前梯度进行校正。如下图：
momentum首先计算一个梯度(短的蓝色向量)，然后在加速更新梯度的方向进行一个大的跳跃(长的蓝色向量)，nesterov项首先在之前加速的梯度方向进行一个大的跳跃(棕色向量)，计算梯度然后进行校正(绿色梯向量)
其实，momentum项和nesterov项都是为了使梯度更新更加灵活，对不同情况有针对性。但是，人工设置一些学习率总还是有些生硬，接下来介绍几种自适应学习率的方法
Adagrad
Adagrad其实是对学习率进行了一个约束。即：
此处，对gt从1到t进行一个递推形成一个约束项regularizer，−1∑tr=1(gr)2+ϵ√ ，ϵ用来保证分母非0
特点：
- 前期gt较小的时候， regularizer较大，能够放大梯度
- 后期gt较大的时候，regularizer较小，能够约束梯度
- 适合处理稀疏梯度
缺点：
- 由公式可以看出，仍依赖于人工设置一个全局学习率
- η设置过大的话，会使regularizer过于敏感，对梯度的调节太大
- 中后期，分母上梯度平方的累加将会越来越大，使gradient→0，使得训练提前结束
Adadelta
Adadelta是对Adagrad的扩展，最初方案依然是对学习率进行自适应约束，但是进行了计算上的简化。
Adagrad会累加之前所有的梯度平方，而Adadelta只累加固定大小的项，并且也不直接存储这些项，仅仅是近似计算对应的平均值。即：
在此处Adadelta其实还是依赖于全局学习率的，但是作者做了一定处理，经过近似牛顿迭代法之后：
其中，E代表求期望。
此时，可以看出Adadelta已经不用依赖于全局学习率了。
特点：
- 训练初中期，加速效果不错，很快
- 训练后期，反复在局部最小值附近抖动
RMSprop
RMSprop可以算作Adadelta的一个特例：
当ρ=0.5时，E|g2|t=ρ∗E|g2|t−1+(1−ρ)∗g2t就变为了求梯度平方和的平均数。
如果再求根的话，就变成了RMS(均方根)：
此时，这个RMS就可以作为学习率η的一个约束：
特点：
- 其实RMSprop依然依赖于全局学习率
- RMSprop算是Adagrad的一种发展，和Adadelta的变体，效果趋于二者之间
- 适合处理非平稳目标
- 对于RNN效果很好
Adam
Adam(Adaptive Moment Estimation)本质上是带有动量项的RMSprop，它利用梯度的一阶矩估计和二阶矩估计动态调整每个参数的学习率。Adam的优点主要在于经过偏置校正后，每一次迭代学习率都有个确定范围，使得参数比较平稳。公式如下：
其中，mt，nt分别是对梯度的一阶矩估计和二阶矩估计，可以看作对期望E|gt|，E|g2t|的估计；mt^，nt^是对mt，nt的校正，这样可以近似为对期望的无偏估计。
可以看出，直接对梯度的矩估计对内存没有额外的要求，而且可以根据梯度进行动态调整，而−mt^nt^√+ϵ对学习率形成一个动态约束，而且有明确的范围。
特点：
- 结合了Adagrad善于处理稀疏梯度和RMSprop善于处理非平稳目标的优点
- 对内存需求较小
- 为不同的参数计算不同的自适应学习率
- 也适用于大多非凸优化
- 适用于大数据集和高维空间
Adamax
Adamax是Adam的一种变体，此方法对学习率的上限提供了一个更简单的范围。公式上的变化如下：
可以看出，Adamax学习率的边界范围更简单
Nadam
Nadam类似于带有Nesterov动量项的Adam。公式如下：
可以看出，Nadam对学习率有了更强的约束，同时对梯度的更新也有更直接的影响。一般而言，在想使用带动量的RMSprop，或者Adam的地方，大多可以使用Nadam取得更好的效果。
经验之谈
- 对于稀疏数据，尽量使用学习率可自适应的优化方法，不用手动调节，而且最好采用默认值
- SGD通常训练时间更长，容易陷入鞍点，但是在好的初始化和学习率调度方案的情况下，结果更可靠
- 如果在意更快的收敛，并且需要训练较深较复杂的网络时，推荐使用学习率自适应的优化方法。
- Adadelta，RMSprop，Adam是比较相近的算法，在相似的情况下表现差不多。
- 在想使用带动量的RMSprop，或者Adam的地方，大多可以使用Nadam取得更好的效果
最后展示两张可厉害的图，一切尽在图中啊，上面的都没啥用了… …
损失平面等高线
在鞍点处的比较
引用
[1]Adagrad
[2]RMSprop[Lecture 6e]
[3]Adadelta
[4]Adam
[5]Nadam
[6]On the importance of initialization and momentum in deep learning
[7]Keras中文文档
[8]Alec Radford(图)
[9]An overview of gradient descent optimization algorithms
[10]Gradient Descent Only Converges to Minimizers
[11]Deep Learning:Nature