学习笔记 悬线法
最大子矩阵问题：
在一个给定的矩形中有一些障碍点，找出内部不包含障碍点的，边与整个矩形平行或重合的最大子矩形。
极大子矩型：无法再向外拓展的有效子矩形
最大子矩型：最大的一个有效子矩形
特别的，在一个有障碍点的矩形中，最大子矩形一定是极大子矩形
悬线法
悬线：上端覆盖了一个障碍点或者到达整个矩形上边界的有效线段
每个悬线上的点的与底部的点一一对应，矩形中每一个点（矩形顶部点除外）都对应了一条悬线。
如果把一条悬线向左右两个方向尽可能的移动，那么就得到了一个矩形。
注意：悬线对应的矩型不一定是极大子矩阵，因为悬线定义中固定了悬线的下边界，故而，悬线左右移动所得到的矩形无法向下扩展。
悬线法的实现
三个重要的元素：
- heighti,j ：表示以( i ,j )为底的悬线的高 (初始化为1)
- lefti,j ：表示向左最多能移动到的位置 （初始化为j）
- righti,j ： 表示向右最多能移动到的位置 （初始化为j）
其中的left,right要视题目要求进行进一步的初始化，如例题
转移：
如果点 不是障碍点，那么，以
为底的悬线就等于以
为底的悬线加点
到点
的线段。因此，
。
当然还要注意左右边界的问题
以上图片转自 https://zhuanlan.zhihu.com/p/46382722
画个图理解一下
那么计算面积就轻而易举
对于以点 为底的悬线对应的子矩形，其面积计算为
问题解：
时间复杂度： ；空间复杂度：
例题：luogu P1169 棋盘制作
直接上代码
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#define maxn 2010
#define re register
using namespace std;
int n,m,ans1,ans2;
int map[maxn][maxn],height[maxn][maxn];
int l[maxn][maxn],r[maxn][maxn];
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(re int i=;i<=n;++i)
for(re int j=;j<=m;++j)
{
scanf("%d",&map[i][j]);
height[i][j]=;
l[i][j]=r[i][j]=j;
}
for(re int i=;i<=n;++i)
for(re int j=;j<=m;++j)
{
if(map[i][j]!=map[i][j-])
l[i][j]=l[i][j-];
}
for(re int i=;i<=n;++i)
for(re int j=m-;j>=;j--)
{
if(map[i][j]!=map[i][j+])
r[i][j]=r[i][j+];
}
//以上为初始化
for(re int i=;i<=n;++i)
for(re int j=;j<=m;++j)
{
if(i>&&map[i][j]!=map[i-][j])
{
height[i][j]=height[i-][j]+;
l[i][j]=max(l[i][j],l[i-][j]);
r[i][j]=min(r[i][j],r[i-][j]);
}
int a=r[i][j]-l[i][j]+;
int b=min(height[i][j],a);
ans1=max(ans1,a*height[i][j]);//最大矩形
ans2=max(ans2,b*b);//最大正方形
}
printf("%d\n%d",ans2,ans1);
return ;
}
注：部分内容转载自
Flavius Buffon：悬线法用来求解最大子矩形问题 同时也是参考文献