文章目录
理论分析
分析一个复杂的问题，我们通常考虑它的简单形式，然后推广到一般。我们考虑 1 / N 1/N 1/N 的循环节问题，最简单的方法就是令 N N N 为较小的数，然后观察规律，最终推广。因此，我们先考虑 1 / 7 1/7 1/7 ——
1 / 7 = 0. 1 ˙ 4 ˙ 2 ˙ 8 ˙ 5 ˙ 7 ˙ (1.1) 1/7=0.\dot{1}\dot{4}\dot{2}\dot{8}\dot{5}\dot{7} \tag{1.1} 1/7=0.1˙4˙2˙8˙5˙7˙(1.1)
考虑到乘以 10 10 10 相当于小数点右移一位，例如
10 / 7 = 1. 4 ˙ 2 ˙ 8 ˙ 5 ˙ 7 ˙ 1 ˙ (1.2) 10/7=1.\dot{4}\dot{2}\dot{8}\dot{5}\dot{7}\dot{1} \tag{1.2} 10/7=1.4˙2˙8˙5˙7˙1˙(1.2)
那么，乘以 1 0 6 10^6 106 相当于小数点右移 6 6 6 位，即
1 0 6 / 7 = 142857. 1 ˙ 4 ˙ 2 ˙ 8 ˙ 5 ˙ 7 ˙ (1.3) 10^6/7=142857.\dot{1}\dot{4}\dot{2}\dot{8}\dot{5}\dot{7} \tag{1.3} 106/7=142857.1˙4˙2˙8˙5˙7˙(1.3)
我们知道， 1 1 1 除以 7 7 7 的余数为 1 1 1 ，我们记为 1 ( m o d 7 ) ≡ 1 1\left( \mathrm{mod}\ 7 \right) \equiv 1 1(mod 7)≡1 。
而「 1 0 6 10^6 106 除以 7 7 7 的循环节」与「 1 1 1 除以 7 7 7 的循环节」都是 1 ˙ 4 ˙ 2 ˙ 8 ˙ 5 ˙ 7 ˙ \dot{1}\dot{4}\dot{2}\dot{8}\dot{5}\dot{7} 1˙4˙2˙8˙5˙7˙ ，所以 1 0 6 10^6 106 除以 7 7 7 的余数等于 1 1 1 除以 7 7 7 的余数，我们记为
1 0 6 ( m o d 7 ) ≡ 1 0 0 ( m o d 7 ) ≡ 1 (1.4) 10^6\left( \mathrm{mod}\ 7 \right) \equiv 10^0\left( \mathrm{mod}\ 7 \right) \equiv 1 \tag{1.4} 106(mod 7)≡100(mod 7)≡1(1.4)
实际上， 1 / 7 1/7 1/7 小数点后的 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 1,2,3,4,5,6 1,2,3,4,5,6 位恰好是循环节，而此处 1 0 6 ( m o d 7 ) ≡ 1 0 0 ( m o d 7 ) 10^6\left( \mathrm{mod}\ 7 \right) \equiv 10^0\left( \mathrm{mod}\ 7 \right) 106(mod 7)≡100(mod 7) ，那么这不禁让我们猜想——
定理1：如果 1 0 q ≡ 1 0 p ( m o d N ) 10^{q}\equiv10^{p}\left(\mathrm{mod}\ N\right) 10q≡10p(mod N) ，那么小数点后 ( p , q ] \left(p,\ q\right] (p, q] 必是 1 / N 1/N 1/N 的循环节
该结论此处我们不证，我们继续看下一个例子，来说明这个结论的正确性——
我们考虑 1 / 6 = 0.1 6 ˙ 1/6=0.1\dot{6} 1/6=0.16˙ ，其中——
{ 1 0 0 ( m o d 6 ) ≡ 1 1 0 1 ( m o d 6 ) ≡ 4 1 0 2 ( m o d 6 ) ≡ 4 (1.5) \begin{cases} 10^0\left( \mathrm{mod}\ 6 \right) \equiv 1\\ 10^1\left( \mathrm{mod}\ 6 \right) \equiv 4\\ 10^2\left( \mathrm{mod}\ 6 \right) \equiv 4\\ \tag{1.5} \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧100(mod 6)≡1101(mod 6)≡4102(mod 6)≡4(1.5)
对比定理1，此处 p = 1 , q = 2 p=1,q=2 p=1,q=2 ，所以小数点后第 ( p , q ] = 2 \left(p,\ q\right]=2 (p, q]=2 位就是循环节。
虽然定理1看起来只是一个充分条件，但它其实是充要的，这里也不予证明。此时，我们计算循环节的问题就归结为了计算 1 0 p ( m o d N ) 10^{p}\left(\mathrm{mod}\ N\right) 10p(mod N) ，如果遇到有相同的元素，那么就对应地区间就是循环节了。
不过我们自然还有一个问题—— p p p 的需要无穷无尽地算下去吗？答案是：没必要，循环节长度最大为 N − 1 N-1 N−1 。因为任何一个数 m o d N \mathrm{mod}\ N mod N 的取值范围都在 0 , 1 , ⋯ , N − 1 0,\ 1,\cdots,\ N-1 0, 1,⋯, N−1 里。特别地，如果遇到了 0 0 0 ，这代表 1 0 p 10^p 10p 可以整除 N N N ，那么这个数是一个有限小数。因此，循环小数不可能出现取值为 0 0 0 的情况，只要余数在 1 , ⋯ , N − 1 1,\cdots,\ N-1 1,⋯, N−1 出现了 2 2 2 次，那么这个区间就被确定下来了。根据抽屉原理，循环节长度最大为 N − 1 N-1 N−1 。因此，我们得到定理2——
定理2：如果 1 / N 1/N 1/N 不是一个有限小数，那么一定存在两个不同的非负整数 p , q ( p ≠ q ) p,q\left( p\neq q\right) p,q(p=q) ，其中 p < N , q < N p<N, \ q<N p<N, q<N ，使得 1 0 p ≡ 1 0 q ( m o d N ) 10^p\equiv 10^q\left(\mathrm{mod}\ N\right) 10p≡10q(mod N)
同样地，定理2我们也不证（事实上，证明的思想就是上面的抽屉原理）。根据这两个定理，我们就能确定 1 / N 1/N 1/N 的循环节问题计算思路了——
- 从
p
=
0
p=0
p=0 到
N
−
1
N-1
N−1 ，计算
1
0
p
(
m
o
d
N
)
10^p \left( \mathrm{mod}\ N\right)
10p(mod N)
- 如果当前 p = p 1 p=p_1 p=p1 与上面的某次 p = p 0 p=p_0 p=p0 的结果相同，那么循环节为 ( p 0 , p 1 ] \left(p_0,\ p_1\right] (p0, p1]
- 如果 1 0 p ( m o d N ) ≡ 0 10^p \left( \mathrm{mod}\ N\right)\equiv 0 10p(mod N)≡0 ，则该数是有限小数
当然，上面仅仅是一个思路，我们不会傻乎乎地 1 0 p ( m o d N ) 10^p \left( \mathrm{mod}\ N\right) 10p(mod N) ，我们实际上会通过递推的方式实现。
C实现1/N
代码如下——
#include <stdio.h>
#include <malloc.h>
void CalCycleDiv (int N) {
typedef unsigned char uint8; // 使用uint8表示0~9的数字，用以节省空间
if (N <= 0) { // 异常处理
printf("要求输入的N为正整数，您输入的N=%d\n", N);
return;
}
int remainder = 1; // 初始余数(10^0 mod N) == 1
uint8 *decimal = (uint8 *)malloc(N * sizeof(uint8)); // 小数部分
int *power = (int *)malloc(N * sizeof(int)); // power[10^p mod N] == p
int len = 0; // 当前小数位数
int loopP = 0; // 循环节范围(loopP, loopQ]
int loopQ = 0; // 循环节范围(loopP, loopQ]
for (int i = 0;i < N;++i) { // 初始化power为无效值N
power[i] = N;
}
while (true) {
decimal[len] = (uint8)(remainder / N); // 求商数
remainder = remainder % N; // 求余数
if (remainder == 0) { // 如果除尽了，必为有限小数
loopP = loopQ = len;
break;
}
if (power[remainder] != N) { // 如果10^(len) == 10^(power[remainder]) (mod N)
loopP = power[remainder];
loopQ = len;
break;
}
power[remainder] = len; // 记录10^(len) mod N == remainder
++len;
remainder *= 10;
}
// 显示输出
printf("%d / %d == %d.", 1, N, 1/N); // 整数部分
if (N == 1) { // 特殊处理N == 1
printf("0");
}
else{ // 非循环小数部分
for (int i = 1;i <= loopP;++i) {
printf("%d", decimal[i]);
}
}
if (loopP != loopQ) { // 循环小数部分
printf("[");
for (int i=loopP + 1;i <= loopQ;++i) {
printf("%d", decimal[i]);
}
printf("]");
}
printf("\n");
}
int main() {
for (int i = 0;i <= 13;++i) { // print [0, 13]
CalCycleDiv(i);
}
return 0;
}
输出结果——
要求输入的N为正整数，您输入的N=0
1 / 1 == 1.0
1 / 2 == 0.5
1 / 3 == 0.[3]
1 / 4 == 0.25
1 / 5 == 0.2
1 / 6 == 0.1[6]
1 / 7 == 0.[142857]
1 / 8 == 0.125
1 / 9 == 0.[1]
1 / 10 == 0.1
1 / 11 == 0.[09]
1 / 12 == 0.08[3]
1 / 13 == 0.[076923]
当然，你可以把输入参数调得更大，比如输入 CalCycleDiv(100003); ，输出的结果将会长得恐怖，光显示都花了我电脑1秒，复制到CSDN上直接卡了3秒。有兴趣的小伙伴可以自行尝试。
C++实现M/N
1
/
N
1/N
1/N 当然很好实现，而上述计算流程推广到
M
/
N
M/N
M/N 上并不困难。C++相对于C语言，引入了函数的多态，这就让我们可以很方便地实现 M/N 和 1/N 的函数重载。此时，我们如果只输入一个参数，就代表计算
1
/
N
1/N
1/N ，输入
2
2
2 个参数则代表计算
M
/
N
M/N
M/N 。其中我还顺便支持了
M
M
M 为负数、
0
0
0 ，
N
N
N 为负数的情形。
#include <iostream>
void CalCycleDiv (int N, int M=1) {
typedef unsigned char uint8; // 使用uint8表示0~9的数字，用以节省空间
if (N == 0) { // 异常处理
std::cout << "要求分母N不为0，您输入的N=" << N << std::endl;
return;
}
bool isNegative = false; // 如果是负数，那么输入加一个负号
int tmpN = N; // 用于显示输出
int tmpM = M; // 用于显示输出
if ((M < 0 && N > 0) || (M > 0 && N < 0))
isNegative = true;
M = (M > 0) ? M : (-M);
N = (N > 0) ? N : (-N);
int remainder = (M % N); // 初始余数(10^0 mod N) == 1
uint8 *decimal = new uint8[N]; // 小数部分
int *power = new int[N]; // power[10^p mod N] == p
int len = 0; // 当前小数位数
int loopP = 0; // 循环节范围(loopP, loopQ]
int loopQ = 0; // 循环节范围(loopP, loopQ]
for (int i = 0;i < N;++i) // 初始化power为无效值N
power[i] = N;
while (true) {
decimal[len] = (uint8)(remainder / N); // 求商数
remainder = remainder % N; // 求余数
if (remainder == 0) { // 如果除尽了，必为有限小数
loopP = loopQ = len;
break;
}
if (power[remainder] != N) { // 如果10^(len) == 10^(power[remainder]) (mod N)
loopP = power[remainder];
loopQ = len;
break;
}
power[remainder] = len; // 记录10^(len) mod N == remainder
++len;
remainder *= 10;
}
// 显示输出
std::cout << tmpM << " / " << tmpN << " == ";
if (isNegative)
std::cout << "-";
std::cout << M/N << "."; // 整数部分
if (N == 1 || M == 0) // 特殊处理N == 1
std::cout << "0";
else{ // 非循环小数部分
for (int i = 1;i <= loopP;++i)
std::cout << (int) decimal[i];
}
if (loopP != loopQ) { // 循环小数部分
std::cout << "[";
for (int i=loopP + 1;i <= loopQ;++i)
std::cout << (int) decimal[i];
std::cout << "]";
}
std::cout << std::endl;
delete(decimal); // 释放空间
delete(power);
}
int main() {
CalCycleDiv(13);
CalCycleDiv(-7, -3);
CalCycleDiv(7, -1);
CalCycleDiv(-7, 2);
return 0;
}
输出结果——
1 / 13 == 0.[076923]
-3 / -7 == 0.[428571]
-1 / 7 == -0.[142857]
2 / -7 == -0.[285714]
C++实现CalCycleDiv类
上面的代码比较丑陋，原因是——明明这个问题可以面向对象的
- 比如将显示和计算部分分离开；
- 比如执行完函数后，我想要查看循环节长度等信息，是不是可以通过面向对象的方式暴露出一些接口；
- 比如上面的函数执行完后，结果将会被销毁，通过面向对象，我们可以更方便地查看结果的内部信息。
使用C++的 class ，我们就能很方便地实现面向对象地对代码进行编程了。我们定义一个 CalCycleDiv 类，用于计算循环除法。
#include <iostream>
class CalCycleDiv{
public:
typedef unsigned char uint8; // 使用uint8表示0~9的数字，用以节省空间
CalCycleDiv(int N, int M=1); // 构造对象，并执行计算
void displayAsCyclicDecimal(); // 显示该分数的循环小数形式
void displayAllCyclicDecimal(); // 显示分子+分母+该分数的循环小数形式
void displayLoop(); // 单独显示循环节
int getM(); // 返回m_M
int getN(); // 返回m_N
int getP(); // 返回m_loopP
int getQ(); // 返回m_loopQ
int getLoopLength(); // 返回(m_loopQ - m_loopP)，即循环节长度
private:
int m_N; // N
int m_M; // M
bool m_isNegative; // 如果是负数，那么显示时加一个负号
uint8 *m_decimal; // 小数部分
int m_loopP; // 循环节范围(m_loopP, m_loopQ]
int m_loopQ;
};
CalCycleDiv::CalCycleDiv (int N, int M)
: m_N (N) // m_N = N; m_M = M;
, m_M (M) {
try {
if (N == 0) // 异常处理
throw -1;
}
catch (int errNum) {
std::cout << "CalCycleDiv的分母N为0，错误！" << std::endl;
}
// 如果是负数，那么输入加一个负号
if ((M < 0 && N > 0) || (M > 0 && N < 0))
m_isNegative = true;
else
m_isNegative = false;
M = (M > 0) ? M : (-M);
N = (N > 0) ? N : (-N);
// 正式开始计算
int remainder = (M % N); // 初始余数(10^0 mod N) == 1
m_decimal = new uint8[N]; // 小数部分
int *power = new int[N]; // power[10^p mod N] == p
int len = 0; // 当前小数位数
m_loopP = 0;
m_loopQ = 0;
for (int i = 0;i < N;++i) // 初始化power为无效值N
power[i] = N;
//std::cout << remainder << " " << len << " " << m_isNegative << " " << M << " " << N << std::endl;
while (true) {
m_decimal[len] = (uint8)(remainder / N); // 求商数
remainder = remainder % N; // 求余数
if (remainder == 0) { // 如果除尽了，必为有限小数
m_loopP = m_loopQ = len;
break;
}
if (power[remainder] != N) { // 如果10^(len) == 10^(power[remainder]) (mod N)
m_loopP = power[remainder];
m_loopQ = len;
break;
}
power[remainder] = len; // 记录10^(len) mod N == remainder
++len;
remainder *= 10;
}
delete(power); // 释放空间
}
// 显示该分数的循环小数形式
void CalCycleDiv::displayAsCyclicDecimal () {
if (m_isNegative) // 负号显示
std::cout << "-";
std::cout << m_M/m_N << "."; // 整数部分
if (m_N == 1 || m_M == 0) // 特殊处理N == 1或者M == 0
std::cout << "0";
else{ // 非循环小数部分
for (int i = 1;i <= m_loopP;++i)
std::cout << (int) m_decimal[i];
}
if (m_loopP != m_loopQ) { // 循环小数部分
std::cout << "[";
for (int i = m_loopP + 1;i <= m_loopQ;++i)
std::cout << (int) m_decimal[i];
std::cout << "]";
}
std::cout << std::endl;
}
// 显示该分数的循环小数形式
void CalCycleDiv::displayAllCyclicDecimal () {
std::cout << m_M << " / " << m_N << " == ";
CalCycleDiv:displayAsCyclicDecimal();
}
// 单独显示循环节
void CalCycleDiv::displayLoop () {
std::cout << "[";
if (m_loopP == m_loopQ) // 如果不循环就显示0
std::cout << "0" << std::endl;
else {
for (int i = m_loopP + 1;i <= m_loopQ;++i)
std::cout << (int) m_decimal[i];
}
std::cout << "]" << std::endl;
}
int CalCycleDiv::getM () {
return m_M;
}
int CalCycleDiv::getN () {
return m_N;
}
// 返回m_loopP
int CalCycleDiv::getP () {
return m_loopP;
}
// 返回m_loopQ
int CalCycleDiv::getQ () {
return m_loopQ;
}
// 返回(m_loopQ - m_loopP)，即循环节长度
int CalCycleDiv::getLoopLength () {
return m_loopQ - m_loopP;
}
int main() {
CalCycleDiv cyc1(13);
CalCycleDiv cyc2(-7, -3);
CalCycleDiv cyc3(7, -1);
CalCycleDiv cyc4(7, -1);
CalCycleDiv cyc5(-7, 2);
CalCycleDiv cyc6(100003);
CalCycleDiv cyc7(10000003);
CalCycleDiv cyc8(100000003);
cyc1.displayAllCyclicDecimal();
cyc2.displayAllCyclicDecimal();
cyc3.displayAllCyclicDecimal();
cyc4.displayAllCyclicDecimal();
cyc5.displayAllCyclicDecimal();
std::cout << cyc5.getM() << " / " << cyc5.getN() << "的循环节长度为" << cyc5.getLoopLength() << std::endl;
std::cout << cyc6.getM() << " / " << cyc6.getN() << "的循环节长度为" << cyc6.getLoopLength() << std::endl;
std::cout << cyc7.getM() << " / " << cyc7.getN() << "的循环节长度为" << cyc7.getLoopLength() << std::endl;
std::cout << cyc8.getM() << " / " << cyc8.getN() << "的循环节长度为" << cyc8.getLoopLength() << std::endl;
return 0;
}
输出代码——
1 / 13 == 0.[076923]
-3 / -7 == 0.[428571]
-1 / 7 == -0.[142857]
-1 / 7 == -0.[142857]
2 / -7 == -0.[285714]
2 / -7的循环节长度为6
1 / 100003的循环节长度为50001
1 / 10000003的循环节长度为769230
1 / 100000003的循环节长度为693360
好家伙，我们的代码直接可以计算出千万级别输入（10000003）的除法循环节长度。至于为啥我们不显示出来？当然是因为这里的空白太小了，写不下啦(x)
下集预告&下下集预告
对于这个代码，其实我们还不够满意。因为只能计算千万级别的输入显然不够coooooool！我们希望挑战一个高难度任务，让我们能计算 1000000007 这种十亿级别的输入。不过我们会遇到一大困难——结果的长度有 1000000006 位，而我们代码的空间复杂度近似于
5
N
5N
5N ，常数
5
5
5 十分大。这使得我们在计算 1000000007 这种十亿级别的输入时，内存会被直接吃完。
下下篇文章中，我们将通过近世代数的理论，将代码的空间复杂度优化到 N N N （事实上，可以优化到 N / 2 N/2 N/2 ，不过这样写起来麻烦些）。为了实现这样的优化，我们需要编写一个质因数分解的类，作为中间的辅助类，而这将放到下篇文章中进行。
额外篇：mathematica实现
mathematica：花里胡哨！我只需要一行代码
RealDigits[1/7][[1]]
输出
{{1, 4, 2, 8, 5, 7}}
天啊！ m a t h e m a t i c a Y Y D S \mathrm{mathematica}\ \mathscr{Y}\mathcal{Y}\mathscr{D}\mathcal{S} mathematica YYDS ！