最大公倍数的最小和

题意：

给一个数字n，范围在[1,2^23-1]，这个n是一系列数字的最小公倍数，这一系列数字的个数至少为2

那么找出一个序列，使他们的和最小。

分析:

一系列数字a1，a2，a3……an，他们的LCM是n，那么什么时候他们是最优解（和最小）呢，当他们两两互质的时候。

a和b的LCM是n，GCD是m，那么n=a/m*b ， 它们的和就是sum=a+b;

如果m不为1（即a和b不互质），那么我们为什么不优化一下，将a变为a=a/m呢？，改变后a和b的LCM依然是n，但是他们的和显然减少了

所以我们得到最重要的一个性质，要想a1，a2，a3……an的和最小，要保证他们两两互质，只要存在不互质的两个数，就一定可以近一步优化

注意：

（1）当N = 1时，应输出2（1*1=1,sum=1+1=2）；

（2）当N是素数的时候，输出N+1（N*1=N,sum=N+1）；

（3）当只有单质因子时，sum=质因子相应次方+1；

（4）当N=2147483647时，它是一个素数，此时输出2147483648，但是它超过int范围，应考虑用long long。

（因为只有1和n的LCM是n ）

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <cmath>

#include <iostream>

using namespace std;

int main()

{

    int cnt=;

long long sum;

int n,least,ans;

while(scanf("%d",&n),n)

{

sum=;

ans=;

least=sqrt(n+);

printf("Case %d: ",cnt++);

for(int i=;i<=least;i++)

{

    if(n%i==)

    {

        long long tmp=;

        ans++;

        while(n%i==)

        {

            tmp=tmp*i;

            n=n/i;

        }

        sum=sum+tmp;

    }

}

if(n!=||ans==)

        {

            sum=sum+n;

            ans++;

        }

        if(ans==) sum+=;

printf("%lld\n",sum);

}

return ;

}

首先假设我们知道了一系列数字a1，a2，a3……an，他们的LCM是n，那么什么时候他们是最优解呢，当他们两两互质的时候

为了方便我们以两个数来说明问题。

a和b的LCM是n，GCD是m，那么n=a/m*b ， 它们的和就是sum=a+b;

如果m不为1（即a和b不互质），那么我们为什么不优化一下，将a变为a=a/m呢？，改变后a和b的LCM依然是n，但是他们的和显然减少了

所以我们得到最重要的一个性质，要想a1，a2，a3……an的和最小，要保证他们两两互质，只要存在不互质的两个数，就一定可以近一步优化

那我们怎么保证两两互质呢？方法其实很简单，直接分解质因子

例如24=2*2*2*3 ， 只能分解为8和3，因为这里有3个2，这3个2必须在一起，如果分开了这3个2，这出现有两个数会有一个公共的质因子2，并且会使这两个数的LCM不是24

再例如72=2*2*2*3*3，只能分为8和9，因为3个2和2个3都不能分开，他们必须在一次

所以，我们将一个数n分解为质因子后，顺便做一个处理，在除干净一个质因子的同时，将他们乘起来作为一个因子，处理完后会得到多个因子，他们之间同样满足两两互质的性质

然后是进一步的分析

例如264600=8*27*25*49  ， 只是由3个2,3个3,2个5,2个7，处理后得到的因子，那么8,27，25,49的LCM是264600，并且两两互质，他们还要不要处理呢？不需要了，直接将他们加起来就是我们要的答案！为什么呢？可以将8,27,25,49这些数字乘起来，无论怎样乘都好，最后得到的数字它们的LCM依然是n，但是乘起来再相加显然比直接相加要大得多！

所以我们已经得到了这个问题的解法

1.将一个数分解成质因子，将相同的因子乘起来作为一个处理后的因子

2.将处理后得到的多个因子直接相加就是答案

3.因为题目说只要需要两个数字，所以对于1和素数我们需要小心。对于素数，我们只能分解出一个因子就它自己，对于1一个因子都分解不出来（我们不把1当做因子），他们的答案都是n+1，因为只有1和n的LCM是n