隐马尔科夫模型-前向算法

隐马尔科夫模型-前向算法

在该篇文章中讲了隐马尔科夫模型(HMM)一基本模型与三个基本问题 隐马尔科夫模型-基本模型与三个基本问题,这篇文章总结一下隐马尔科夫链(HMM)中的前向与后向算法,首先给出这俩个算法是为了解决HMM的第一个基本问题。

先回忆一下第一个问题:
第一个问题是求,给定模型的情况下,求某种观测序列出现的概率。

比如,给定的HMM模型参数已知,求出三天观察是(Dizzy,Cold,Normal)的概率是多少?(对应的HMM模型参数已知的意思,就是说的A(trainsition_probability),B(emission_probability),pi矩阵是已经知道的。)

相关条件如下图所示:
隐马尔科夫模型-前向算法

由上图所示,也就是说,可以写成如下代码:
trainsition_probability = [[0.7,0.3],[0.4,0.6]]
emission_probability = [[0.5,0.4,0.1],[0.1,0.3,0.6]]
pi = [0.6,0.4]

在第一个问题中,我们需要求解出三天观察是(Dizzy,Cold,Normal)的概率是多少?

这里为了演示简单,我只求解出俩天观察为(Dizzy,Cold)的概率是多少!

这个问题太好求解了,最暴力的方法就是将路径全部遍历一遍。下面尽可能通俗易懂的说明一下:
首先画出时间序列状态图如下:

隐马尔科夫模型-前向算法

下面,我详细走一遍一条路径的暴力算法,这样既可以避开公式的晦涩,也不失正确性。其它路径完全类似

第一天为Healthy的概率为:0.6

在第一天为Healthy的基础上,观察为Dizzy的概率为:P(Dizzy|Healthy)=0.6P(Healthy->Dizzy)=0.60.1=0.06

然后求出在第一天为Healthy的基础上,并且第一天表现为Dizzy的前提下,第二天也为Healthy的概率为:
P(Healthy|Healthy,Dizzy) = P(Dizzy|healthy)07 = 0.060.7

上面求完的时候,代表下图中的红线已经转移完了。

隐马尔科夫模型-前向算法

好,那么当在前面基础上,第二天观察为Cold的概率为:
P(Cold|(Healthy,Dizzy),(Healthy)) = P(Healthy|Healthy,Dizzy)0.4 = 0.060.7*0.4
现在我们已经完成一条路径的完整结果了。

就是在第一天隐含状态为Healthy和第二天隐含状态为Healthy的基础上,观察序列为Dizzy,Cold的概率为
P(Dizzy,Cold|Healthy,Healthy) = 0.060.70.4=0.0168

那么同理,我们就可以求出其它三条路径。
(1)在第一天隐含状态为Healthy和第二天隐含状态为Fever的基础上,观察序列为Dizzy,Cold的概率
(2)在第一天隐含状态为Fever和第二天隐含状态为Healthy的基础上,观察序列为Dizzy,Cold的概率
(3)在第一天隐含状态为Fever和第二天隐含状态为Fever的基础上,观察序列为Dizzy,Cold的概率

然后最后的第一个问题的结果就是将这四个结果相加起来就可以了。是不是很简单,那么为了还需要前向后向算法来解决这个事呢?

其实这个算法在现实中是不可行的。我给的例子由于是为了讲解容易,状态值和观察值都很小,但是实际中的问题,隐状态的个数是非常大的。

那么我们的计算量是不可以忍受的。

我们可以稍微估计一下,加入状态值是N个,观察值是K个。总共观察长度为T。

那么我们的路径总个数就是N的T次方,我的天,这个复杂度已经接受不了了,到达了每个隐含状态的时候,还需要算一遍观察值出现的概率(每个隐状态计算一遍到观察值的概率)。又要乘以NT(当然这已经对前面很大复杂度构成不了多少作用了)

所以我们得出结论,暴力法在这里并不实用,于是就引出了前向后向算法。它们都是基于动态规划思想求解。下面介绍一下:

1

前向算法

我们首先定义一下前向概率

定义:给定隐马科夫模型lamda,定义到时刻t为止的观测序列为01,02,03....0t且状态为qi的概率为前向概率,记作

可以递推地求得前向概率 隐马尔科夫模型-前向算法及观测序列概率隐马尔科夫模型-前向算法

下面,我们可以整理一下前向算法的流程:
输入:隐马尔可夫模型,观测序列
输出:观测序列概率隐马尔科夫模型-前向算法

(1)初值
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前向概率的定义中一共限定了两个条件。

一是到当前为止的观测序列,另一个是当前的状态。所以初值的计算也有两项(观测和状态),一项是初始状态概率,另一项是发射到当前观测的概率。

(2)递推对t=1,2,3,.....,T-1

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每次递推同样由两部分构成,大括号中是当前状态为i且观测序列的前t个符合要求的概率,括号外的是状态i发射观测t+1的概率。

下面稍微解释一下公式:
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(3)终止
隐马尔科夫模型-前向算法
由于到了时间T,一共有N种状态发射了最后那个观测,所以最终的结果要将这些概率加起来(因为每个隐状态都可能产生我们需要的观测值,所以都要加起来)。

公式可以用下面的转移图表示,假设我要求第二层某个结点的前向概率,等于前一层所有结点到该结点的转移,如下图:
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由于每次递推都是在前一次的基础上进行的,所以降低了复杂度(计算只存在于相邻的俩个时间点)。计算如下图所示:
隐马尔科夫模型-前向算法
下方标号表示时间节点,每个时间点都有N种状态,所以相邻两个时间之间的递推消耗N^2次计算。

而每次递推都是在前一次的基础上做的,所以只需累加O(T)次,所以总体复杂度是O(T)个N^2,即0(TN^2),这比起我们前面说的暴力法的复杂度已经好了太多了。

到这里为止,前向算法也就讲完了。本文通过一个具体简单例子,走了一遍过程,期间有一些自己的总结和理解,希望对大家有帮助~

2

python实现代码

代码如下:

隐马尔科夫模型-前向算法
隐马尔科夫模型-前向算法

近期文章预告:
《隐马尔科夫模型-后向算法》
《隐马尔科夫模型-维特比算法》
《深入浅出讲解支持向量机(SVM)》

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