定义
隐马尔科夫模型可以用一个三元组(π,A,B)来定义:
π 表示初始状态概率的向量
A =（aij）（隐藏状态的）转移矩阵 P（Xit|Xj（t-1）） t-1时刻是j而t时刻是i的概率
B =（bij）混淆矩阵 P（Yi|Xj） 在某个时刻因隐藏状态为Xj而观察状态为Yi的概率
值得注意的是，在状态转移矩阵中的每个概率都是时间无关的，也就是说我们假设这个概率是固定的，不随时间变化。当然，这是马尔科夫模型最不切合实际的一个假设。

隐马尔科夫模型的使用
如果一个模型可以被描述成一个隐马尔科夫模型，有三个问题可以得到解决。前两个是模式识别的问题：1）根据隐马尔科夫模型得到一个可观察状态序列的概率（评价）；2）找到一个隐藏状态的序列使得这个序列产生一个可观察状态序列的概率最大(解码)。第三个问题就是根据一个可以观察到的状态序列集产生一个隐马尔科夫模型（学习）。

1.评价
假设我们有很多隐马尔科夫模型（也就是说一个三元组的集合）描述不同的系统和一个可观察状态序列集。我们也许想知道哪一个隐马尔科夫模型最可能产生某个可观察状态序列。比如说，我们也许有一个海藻的“Summer”模型和一个“Winter”模型，因为海藻在夏天和冬天的状态应该是不同的，我们希望根据一个可观察状态（海藻的潮湿与否）序列来判断现在是夏天还是冬天。
我们可以使用前向算法来计算在某个特定的HMM下一个可观察序列的概率，然后据此找到最可能的模型。
这种类型的应用通常出现在语音设别中，通常我们会使用很多HMM，每一个针对一个特别的单词。一个可观察状态的序列是从一个可以听到的单词向前得到的，然后这个单词就可以通过找到满足这个可观察状态序列的最大概率的HMM来识别。

2.解码
根绝可观察状态的序列找到一个最可能的隐藏状态序列。
和上面一个问题相似的并且更有趣的是根据可观察序列找到隐藏序列。在很多情况下，我们队隐藏状态更有兴趣，因为其包含了一些不能被直接观察到的有价值的信息。比如说在海藻和天气的例子中，一个隐居的人只能看到海藻的状态，但是他想知道天气的状态。这时候我们就可以使用Viterbi算法来根据可观察序列得到最优可能的隐藏状态的序列，当然前提是已经有一个HMM。
另一个广泛使用Viterbi算法的领域是自然语言处中标引词性。句子中的单词是可以观察到的，词性是隐藏的状态。通过根据语句的上下文找到一句话中的单词序列的最有可能的隐藏状态序列，我们就可以得到一个单词的词性（可能性最大）。这样我们就可以用这种信息来完成其他一些工作。

3.学习
从一个观察集中得到一个隐马尔科夫模型。
第三个问题也是最困难的问题，根绝观察到的序列集来找到一个最有可能的HMM，也就是说确定一个最有可能的三元组(π,A,B）。当A，B矩阵都不是直观可测量（通过经验得到）的的时候，可以使用前向后向算法来解决这个问题。

总结
尽管做出了一些不太符合实际的假设，但是用三元组描述的HMMs在描述真实系统并进行分析的时候具有很大的价值，并且可以解决下面这些问题：
用前向算法找到最有可能的隐马尔科夫模型
用Viterbi算法根据观察序列找到最有可能的隐藏序列
用前向后向算法决定最有可能产生某个观察集的隐马尔科夫模型的参数