隐马尔科夫模型-前向算法

在该篇文章中讲了隐马尔科夫模型（HMM）一基本模型与三个基本问题 隐马尔科夫模型-基本模型与三个基本问题，这篇文章总结一下隐马尔科夫链（HMM）中的前向与后向算法，首先给出这俩个算法是为了解决HMM的第一个基本问题。

先回忆一下第一个问题：

第一个问题是求，给定模型的情况下，求某种观测序列出现的概率。

比如，给定的HMM模型参数已知，求出三天观察是(Dizzy,Cold,Normal)的概率是多少？(对应的HMM模型参数已知的意思，就是说的A(trainsition_probability),B(emission_probability),pi矩阵是已经知道的。)

相关条件如下图所示：

由上图所示，也就是说，可以写成如下代码：

trainsition_probability = [[0.7,0.3],[0.4,0.6]]     emission_probability = [[0.5,0.4,0.1],[0.1,0.3,0.6]]   

pi = [0.6,0.4]

在第一个问题中，我们需要求解出三天观察是(Dizzy,Cold,Normal)的概率是多少？

这里为了演示简单，我只求解出俩天观察为(Dizzy,Cold)的概率是多少！

这个问题太好求解了，最暴力的方法就是将路径全部遍历一遍。下面尽可能通俗易懂的说明一下：
首先画出时间序列状态图如下：

下面，我详细走一遍一条路径的暴力算法，这样既可以避开公式的晦涩，也不失正确性。其它路径完全类似

第一天为Healthy的概率为：0.6

在第一天为Healthy的基础上，观察为Dizzy的概率为：P（Dizzy|Healthy）=0.6*P(Healthy->Dizzy)=0.6*0.1=0.06

然后求出在第一天为Healthy的基础上，并且第一天表现为Dizzy的前提下，第二天也为Healthy的概率为：
P(Healthy|Healthy,Dizzy) = P(Dizzy|healthy)*07 = 0.06*0.7

上面求完的时候，代表下图中的红线已经转移完了。

好，那么当在前面基础上，第二天观察为Cold的概率为：
P(Cold|(Healthy,Dizzy),(Healthy)) = P(Healthy|Healthy,Dizzy)*0.4 = 0.06*0.7*0.4
现在我们已经完成一条路径的完整结果了。

就是在第一天隐含状态为Healthy和第二天隐含状态为Healthy的基础上，观察序列为Dizzy，Cold的概率为
P（Dizzy,Cold|Healthy,Healthy） = 0.06*0.7*0.4=0.0168

那么同理，我们就可以求出其它三条路径。
（1）在第一天隐含状态为Healthy和第二天隐含状态为Fever的基础上，观察序列为Dizzy，Cold的概率
（2）在第一天隐含状态为Fever和第二天隐含状态为Healthy的基础上，观察序列为Dizzy，Cold的概率
（3）在第一天隐含状态为Fever和第二天隐含状态为Fever的基础上，观察序列为Dizzy，Cold的概率

然后最后的第一个问题的结果就是将这四个结果相加起来就可以了。是不是很简单，那么为了还需要前向后向算法来解决这个事呢？

其实这个算法在现实中是不可行的。我给的例子由于是为了讲解容易，状态值和观察值都很小，但是实际中的问题，隐状态的个数是非常大的。

那么我们的计算量是不可以忍受的。

我们可以稍微估计一下，加入状态值是N个，观察值是K个。总共观察长度为T。

那么我们的路径总个数就是N的T次方,我的天，这个复杂度已经接受不了了，到达了每个隐含状态的时候，还需要算一遍观察值出现的概率（每个隐状态计算一遍到观察值的概率）。又要乘以NT（当然这已经对前面很大复杂度构成不了多少作用了）

所以我们得出结论，暴力法在这里并不实用，于是就引出了前向后向算法。它们都是基于动态规划思想求解。下面介绍一下：

1  前向算法

我们首先定义一下前向概率

定义：给定隐马科夫模型lamda，定义到时刻t为止的观测序列为01,02,03....0t且状态为qi的概率为前向概率，记作

可以递推地求得前向概率及观测序列概率。

下面，我们可以整理一下前向算法的流程：

输入：隐马尔可夫模型，观测序列

输出：观测序列概率

(1)初值

前向概率的定义中一共限定了两个条件。

一是到当前为止的观测序列，另一个是当前的状态。所以初值的计算也有两项（观测和状态），一项是初始状态概率，另一项是发射到当前观测的概率。

(2)递推对t=1,2,3,.....,T-1

每次递推同样由两部分构成，大括号中是当前状态为i且观测序列的前t个符合要求的概率，括号外的是状态i发射观测t+1的概率。

下面稍微解释一下公式：

(3)终止

由于到了时间T，一共有N种状态发射了最后那个观测，所以最终的结果要将这些概率加起来（因为每个隐状态都可能产生我们需要的观测值，所以都要加起来）。

公式可以用下面的转移图表示，假设我要求第二层某个结点的前向概率，等于前一层所有结点到该结点的转移，如下图：

由于每次递推都是在前一次的基础上进行的，所以降低了复杂度（计算只存在于相邻的俩个时间点）。计算如下图所示：

下方标号表示时间节点，每个时间点都有N种状态，所以相邻两个时间之间的递推消耗N^2次计算。

而每次递推都是在前一次的基础上做的，所以只需累加O(T)次，所以总体复杂度是O(T)个N^2，即0（TN^2）,这比起我们前面说的暴力法的复杂度已经好了太多了。

到这里为止，前向算法也就讲完了。本文通过一个具体简单例子，走了一遍过程，期间有一些自己的总结和理解，希望对大家有帮助~

2  python实现代码

代码如下：