1.难点-如何实现高效的通信

我们考虑下列的多任务优化问题：

\[ \underset{\textbf{W}}{\min} \sum_{t=1}^{T} [\frac{1}{m_t}\sum_{i=1}^{m_t}L(y_{ti}, \langle \bm{w}_t, \bm{x}_{ti} \rangle)]+\lambda \text{pen}(\textbf{W}) \tag{1} \]

这里\(\text{pen}(\mathbf{W})\)是一个用于增强group sparse的正则项。比如。group lasso penalty^[1] 使用 \(\text{pen}(\mathbf{W}) = [\sum_{t=1}^T \left(\sum_{j=1}^d{w}_{jt}\right)^2 ]^{1/2}\)（这里\(d\)为特征维度，\(T\)为任务数）; \(\text{iCAP}\)使用\(\text{pen}(\mathbf{W}) = \underset{1\leqslant t \leqslant T}{\text{max}}\sum_{j=1}^d|w_{jt}|\) ^[2][3](类似矩阵的\(\infin\)范数，但把行和列换了一下)。
在分布式的环境中，我们可以按照文章《并行多任务学习论文阅读（二）同步和异步优化算法》(链接：https://www.cnblogs.com/lonelyprince7/p/15487700.html)提到的基于近端梯度的同步/异步优化算法来优化问题\((1)\)，但是正如我们在该篇博客中所说的，这种方法需要多轮的通信，时间开销较大。这样，如何实现机器间的有效通信是我们必须要想办法解决该问题。
有学者就在思考，我们可以不可以直接每个任务各自优化各的，直接求解下列的local lasso问题：

\[ \hat{\textbf{w}}_t = \underset{\textbf{w}_t}{\text{argmin}}\frac{1}{m_t}\sum_{i=1}^{m_t}L(y_{ti}, \langle \textbf{w}_t, \textbf{x}_{ti} \rangle)+\lambda_t \text{pen}(\textbf{w}_t) \]

很遗憾，这种方法虽然做到了不同任务优化的解耦，但本质上变成了单任务学习，没有充分利用好多任务之间的联系（须依靠group sparse正则项\(\text{pen}(\textbf{W})\)来实现）。那么，有没有即能够减少通信次数，又能够保存group regularization的基本作用呢？

2. 基于去偏lasso模型的分布式算法

论文《distributed multitask learning》^[4]提出的算法介于传统的近端梯度优化算法和local lasso之间，其计算只需要一轮通信，但仍然保证了使用group regularization所带来的统计学效益。 该论文提出的算法描述如下：

这里我们特别说明一下第\(12\)行的操作，这个在master节点的操作充分利用了不同任务参数之间的共享稀疏性。其中，在\((12)\)主节点将接收到的估计量拼接成矩阵\(\hat{\textbf{W}}^u=(\hat{\bm{w}}_1^u, \hat{\bm{w}}_2^u,..., \hat{\bm{w}}_T^u)\)。然后master节点执行hard thresholding以过得\(\mathbf{S}\)的估计量：

\[\hat{S}(\Lambda)=\{j \text{ }| \text{ } ||\hat{\textbf{W}}_j^u||_2 > \Lambda \} \]

参考文献

• [1] Yuan M, Lin Y. Model selection and estimation in regression with grouped variables[J]. Journal of the Royal Statistical Society: Series B (Statistical Methodology), 2006, 68(1): 49-67.
• [2] Zhao P, Rocha G, Yu B. The composite absolute penalties family for grouped and hierarchical variable selection[J]. The Annals of Statistics, 2009, 37(6A): 3468-3497.
• [3] Liu H, Palatucci M, Zhang J. Blockwise coordinate descent procedures for the multi-task lasso, with applications to neural semantic basis discovery[C]//Proceedings of the 26th Annual International Conference on Machine Learning. 2009: 649-656.
• [4] Wang J, Kolar M, Srerbo N. Distributed multi-task learning[C]//Artificial intelligence and statistics. PMLR, 2016: 751-760.
• [5] 杨强等. 迁移学习[M].机械工业出版社, 2020.