【LG3647】[APIO2014]连珠线
题面
题解
首先考虑一下蓝线连起来的情况，一定是儿子-父亲-另一个儿子或者是儿子-父亲-父亲的父亲。
而因为一开始只有一个点在当前局面上，将一条红边变为两条蓝边也只能在一对有父子关系的点之间加，所以第一种“儿子-父亲-另一个儿子”的情况实际上是不存在的。
假设我们当前已经选定根节点，设\(f[i][0/1]\)表示当前位于以\(i\)为根的子树\(i\)不作为/作为中转点(即中间的父亲节点)的最大答案。
那么有转移：
\(f[i][0]=\sum_{j\in son_i} max(f[j][0],f[j][1]+cost_{i,j})\)
钦定一个儿子连上来，得到另一部分的转移：
\(f[i][1]=max_{j\in son_i}\{f[i][0]-max(f[j][0],f[j][1]+cost_{i,j})+f[j][1]+cost_{i,j}\}\)
因为根在哪个位置会使我们的情况受到影响，考虑换根。
令\(g[i][j][0/1]\)表示当前\(i\)不考虑\(j\)这个儿子和作不作为中转点的最大答案。
那么\(g[i][j][0]\)显然为\(f[i][0]-max(f[j][0],f[j][1]+cost_{i,j})\)。
\(g[i][j][1]\)稍微麻烦一些，需要记录转移上来的\(max(f[j][0],f[j][1]+cost_{i,j})+f[j][1]+cost_{i,j}\)最大及次大值，对于从最大值转移上来的儿子，即为次大值的贡献，否则为最大值的贡献。
然后因为这个\(g\)不能直接开数组，所以用\(vector\)代替。
有这个东西就可以偷税的换根了，换根过程详见代码。
代码
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
inline int gi() {
register int data = 0, w = 1;
register char ch = 0;
while (!isdigit(ch) && ch != '-') ch = getchar();
if (ch == '-') w = -1, ch = getchar();
while (isdigit(ch)) data = 10 * data + ch - '0', ch = getchar();
return w * data;
}
const int INF = 2e9;
const int MAX_N = 2e5 + 5;
struct Graph { int to, cost, next; } e[MAX_N << 1];
int fir[MAX_N], e_cnt;
void clearGraph() { memset(fir, -1, sizeof(fir)); e_cnt = 0; }
void Add_Edge(int u, int v, int w) { e[e_cnt] = (Graph){v, w, fir[u]}, fir[u] = e_cnt++; }
int N, fa[MAX_N];
int f[MAX_N][2], cost[MAX_N];
vector<int> g[MAX_N][3], son[MAX_N], mx[MAX_N];
void dfs(int x) {
f[x][0] = 0, f[x][1] = -INF;
for (int i = fir[x]; ~i; i = e[i].next)
if (e[i].to != fa[x]) fa[e[i].to] = x, dfs(e[i].to);
for (int i = fir[x]; ~i; i = e[i].next) {
int v = e[i].to; if (v == fa[x]) continue;
son[x].push_back(v), cost[v] = e[i].cost;
f[x][0] += max(f[v][0], f[v][1] + e[i].cost);
}
int m1 = -INF, m2 = -INF;
for (int i = fir[x]; ~i; i = e[i].next) {
int v = e[i].to; if (v == fa[x]) continue;
int val = f[v][0] + e[i].cost - max(f[v][0], f[v][1] + e[i].cost);
f[x][1] = max(f[x][1], f[x][0] + val);
if (val > m1) m2 = m1, m1 = val;
else if (val > m2) m2 = val;
}
for (int i = fir[x]; ~i; i = e[i].next) {
int v = e[i].to; if (v == fa[x]) continue;
g[x][0].push_back(f[x][0] - max(f[v][0], f[v][1] + e[i].cost));
int val = f[v][0] + e[i].cost - max(f[v][0], f[v][1] + e[i].cost);
if (val == m1) g[x][1].push_back(g[x][0].back() + m2), mx[x].push_back(m2);
else g[x][1].push_back(g[x][0].back() + m1), mx[x].push_back(m1);
}
}
int ans = 0;
void rdfs(int x) {
for (int i = 0; i < (int)son[x].size(); i++) {
f[x][0] = g[x][0][i], f[x][1] = g[x][1][i];
if (fa[x]) {
f[x][0] += max(f[fa[x]][0], f[fa[x]][1] + cost[x]);
f[x][1] = f[x][0] + max(mx[x][i], f[fa[x]][0] + cost[x] - max(f[fa[x]][0], f[fa[x]][1] + cost[x]));
}
ans = max(ans, f[son[x][i]][0] + max(f[x][0], f[x][1] + cost[son[x][i]]));
rdfs(son[x][i]);
}
}
int main () {
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("cpp.in", "r", stdin);
#endif
clearGraph();
N = gi();
for (int i = 1; i < N; i++) {
int u = gi(), v = gi(), w = gi();
Add_Edge(u, v, w);
Add_Edge(v, u, w);
}
dfs(1);
ans = f[1][0];
rdfs(1);
printf("%d\n", ans);
return 0;
}