首先我们要用到一些均分纸牌的思想(已经理解这种思想的大佬请跳过):
设\(A_i\)表示第\(i\)个小朋友原有的糖果数量,
设\(ave\)表示所有小朋友糖果数量的平均数,
\(X_i\)表示第\(i\)个小朋友向左传的糖果数量。即：
①如果\(X_i>0:\quad\) 第\(i\)个小朋友向左传\(X_i\)个糖果；
②否则如果\(X_i<0:\quad\) 第\(i\)个小朋友向左传\(|X_i|\)个糖果。
所以该题的代码为：
Code：
#include<cstdio>
int a[101];
int n,x,s;
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;++i)
{
scanf("%d",&a[i]);
x+=a[i];
}
x/=n;
for(int i=1;i<n;++i)
{
a[i]-=x;
if(a[i]!=0)
{
++s;
a[i+1]+=a[i];
}
}
printf("%d",s);
return 0;
}
好现在让我们回到原题糖果传递上来。
看看刚刚设的什么：
设\(A_i\)表示第\(i\)个小朋友原有的糖果数量,
\(ave\)表示所有小朋友糖果数量的平均数,
\(X_i\)表示第\(i\)个小朋友向左传的糖果数量。
则由题可得方程：
\[
A_1+X_2-X_1=ave
\]
\[
A_2+X_3-X_2=ave
\]
\[
···
\]
\[
A_n+X_1-X_n=ave
\]
即：
\[A_i+X_{i+1}+X_i=ave(1\le i<n)\]
\[A_n+X_1+X_n=ave(i=n)\]
变形得：
\[
X_2=ave+X_1-A_1
\]
\[
X_3=ave+X_2-A_2=ave+(ave+X_1-A_1)-A_2=2ave-A_1-A_2+X_1
\]
\[
···
\]
\[
X_1=ave+X_n-A_n=n·ave-A_1-A_2-…-A_n+X_1
\]
这时我们设:
\[
C_1=A_1-ave
\]
\[
C_2=A_1+A_2-ave
\]
\[
···
\]
\[
C_n=A_1+A_2+…+A_n-n·ave
\]
即设：
\[C_i=\sum_{j=1}^iA_j-i·ave(1\le i\le n)\]
则有:
\[
X_2=X_1-C_1
\]
\[
X_3=X_1-C_2
\]
\[
···
\]
\[
X_n=X_1-C_n
\]
即：
\[X_i=X_1-C_i\]
这时我们返回来看所求,要求传递价值最小，
这就是说，要求最小化
\[
|X_1|+|X_2|+···+|X_n|
\]
而该式等于
\[
|X_1-C_1|+|X_1-C_2|+···+|X_1-C_n|
\]
即求:
\[MIN \{ \sum_{i=1}^nX_i \}=MIN \{ \sum_{i=1}^nX_1-C_i \}\]
这样就好办了，\(C_i\)是已知（额，至少是可以预处理出来）的，要想最小化上式，我们把\(C_i\)看成数轴上的一个个点，现在问题就转化成了找出一个点\(X_1\)，使得她到各个\(C_i\)上的点的距离和最小。
显然，这个点就是这\(n\)个点的中位数。。。（一会再给出数学证明）
那么求出了\(X_1\)之后，根据
\[
X_2=X_1-C_1
\]
\[
X_3=X_1-C_2
\]
\[
···
\]
\[
X_n=X_1-C_n
\]
这一坨柿子，我们可以求出\(X_2,X_3…X_n\),然后就可以偷税的得到所求的：
最小化
\[
|X_1|+|X_2|+···+|X_n|
\]
啦233~~~
代码好丑，大家别嫌弃qwq：
Code：
#include<bits/stdc++.h>
#define max(a,b) a>b?a:b
#define min(a,b) a<b?a:b
#define inline il
typedef long long ll;
typedef long double ld;
const int inf = 0x7fffffff;
const int N = 1e6+1;
ll n;
ll a[N],c[N];
ll ave,ans,mid;
using namespace std;
int main()
{
scanf("%lld",&n);
for(int i=1;i<=n;++i)
scanf("%lld",&a[i]),ave+=a[i];
ave/=n;
for(int i=1;i<=n;++i)
c[i]=c[i-1]+ave-a[i-1];
sort(c+1,c+n+1);
mid=c[(n+1)/2];
for(int i=1;i<=n;++i)
ans+=abs(mid-c[i]);
printf("%lld",ans);
return 0;
}
附：数学证明
在数轴上有\(n\)个点，找出一个点\(x\)，使得她到各个点的距离和最小。
求证：该点表示的数就是这\(n\)个数的中位数。
如果我们把数轴上的点两两配对，最大的配最小的，次大的配次小的……
则到每组点最近的距离的点在这两个点中间，那么
如果有奇数个点，那么显然中间那个点便为所求。
∴该点表示的数是这\(n\)个数的中位数得证。
注：有一些柿子在文中以不同的形式重复出现，主要是为了同时满足大佬和蒟蒻的需要。一些前面写了‘即…’并用
这个东西