Codeforces Round #499 (Div. 1) F. Tree

题目链接

\(\rm CodeForces\)：https://codeforces.com/contest/1010/problem/F

Solution

设\(v_i\)表示第\(i\)个点的果子数，设\(b_i=v_i-\sum_{x\in son}v_x\)，显然依题意要满足\(b_i\geqslant 0\)。

根据差分的性质我们可以得到\(\sum b_i=x\)。

假设我们硬点树上剩下了\(m\)个点，则根据插板法\(b_i\)的方案数为\(\displaystyle\binom{x+m-1}{m-1}\)。

由于\(b\)唯一确定\(v\)，所以\(v\)的方案数也是这么多。

那么我们就考虑剩下\(m\)个点的方案数。

考虑一种暴力的\(dp\)，设\(f[u][i]\)表示\(x\)子树保留了\(i\)个点(包括\(i\))的方案数，转移显然：
\[ f[u][i]=\sum_{k=1}^{i-1}f[l][k]\cdot f[r][i-1-k] \]
写成生成函数就是：
\[ F_u(x)=xF_l(x)F_r(x)+1 \]
若\(u\)只有一个儿子也同理：
\[ F_u(x)=xF_{son}(x)+1 \]
若\(u\)为叶子则：
\[ F_u(x)=x+1 \]
证明显然。

考虑这个玩意怎么优化，显然如果\(\rm NTT\)优化复杂度\(O(n^2\log n)\)，这是我们无法接受的。

我们考虑对这棵树进行轻重链剖分，那么对于一条重链上的每个点我们假设求出了非重儿子的\(F(x)\)。

那么我们对这条重链进行编号，从顶端到叶子为\(1\cdots c\)，设\(a_i=xF_{son_i}(x)\)。

那么链顶的答案就是：
\[ F_1(x)=xF_{son_1}(x)F_2(x)+1=a_1F_2(x)+1 \]
我们递归的写完所有\(c\)个：
\[ F_1(x)=a_1(a_2((\cdots(a_c+1))+1)+1)+1 \]
暴力展开就是：
\[ F_1(x)=a_1a_2\cdots a_c+a_1a_2\cdots a_{c-1}+\cdots+a_1+1 \]
这个可以分治\(\rm FFT\)解决，代码大概长这样：

void solve(int lt,int rt,vec &a,vec &b) {
    if(lt==rt) return a=b=r[lt],void();
    vec al,ar,bl,br;int mid=(lt+rt)>>1;solve(lt,mid,al,bl),solve(mid+1,rt,ar,br);
    b=poly::pmul(bl,br);a=poly::padd(poly::pmul(ar,bl),al);
} 

其中\(al,ar\)表示答案，\(bl,br\)表示区间乘积，其他的变量可以参考下下面的代码。

那么我们就解决了这个问题，因为总轻边的子树大小之和为\(O(n\log n)\)，所以总复杂度为\(O(n\log ^3n)\)。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

void read(int &x) {
    x=0;int f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}
 
void print(int x) {
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+48);
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('\n');}

#define lf double
#define ll long long 

#define pii pair<int,int >
#define vec vector<int >

#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fr first
#define sc second
#define _sz(x) ((int)x.size())

#define FOR(i,l,r) for(int i=l,i##_r=r;i<=i##_r;i++) 

const int maxn = 1<<19|10;
const int inf = 1e9;
const lf eps = 1e-8;
const int mod = 998244353;

int add(int x,int y) {return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
int del(int x,int y) {return x-y<0?x-y+mod:x-y;}
int mul(int x,int y) {return 1ll*x*y-1ll*x*y/mod*mod;}

int qpow(int a,int x) {
    int res=1;
    for(;x;x>>=1,a=mul(a,a)) if(x&1) res=mul(res,a);
    return res;
}

namespace poly {
    int N,w[maxn],pos[maxn],bit,mxn,t[2][maxn];

    void init(int l) {
        for(mxn=1;mxn<=l;mxn<<=1) ;
        w[0]=1,w[1]=qpow(3,(mod-1)/mxn);
        for(int i=2;i<=mxn;i++) w[i]=mul(w[i-1],w[1]);
    }

    void ntt(int *r,int op) {
        FOR(i,1,N-1) if(pos[i]>i) swap(r[pos[i]],r[i]);
        for(int i=1,d=mxn>>1;i<N;i<<=1,d>>=1)
            for(int j=0;j<N;j+=i<<1)
                for(int k=0;k<i;k++) {
                    int x=r[j+k],y=mul(r[i+j+k],w[k*d]);
                    r[j+k]=add(x,y),r[i+j+k]=del(x,y);
                }
        if(op==-1) {
            reverse(r+1,r+N);int d=qpow(N,mod-2);
            for(int i=0;i<N;i++) r[i]=mul(r[i],d);
        }
    }

    vec pmul(vec a,vec b) {
        if(1ll*_sz(a)*_sz(b)<=5000) {
            vec c;c.resize(_sz(a)+_sz(b)-1);
            FOR(i,0,_sz(a)-1) FOR(j,0,_sz(b)-1) c[i+j]=add(c[i+j],mul(a[i],b[j]));
            return c;
        }
        for(N=1,bit=0;N<_sz(a)+_sz(b);N<<=1,bit++);
        FOR(i,0,N-1) pos[i]=pos[i>>1]>>1|((i&1)<<(bit-1));
        FOR(i,0,_sz(a)-1) t[0][i]=a[i];FOR(i,_sz(a),N) t[0][i]=0;
        FOR(i,0,_sz(b)-1) t[1][i]=b[i];FOR(i,_sz(b),N) t[1][i]=0;
        ntt(t[0],1),ntt(t[1],1);
        FOR(i,0,N-1) t[0][i]=mul(t[0][i],t[1][i]);
        ntt(t[0],-1);vec c;
        FOR(i,0,_sz(a)+_sz(b)-1) c.pb(t[0][i]);
        return c;
    }

    vec padd(vec a,vec b) {
        if(_sz(a)>_sz(b)) {FOR(i,0,_sz(b)-1) a[i]=add(a[i],b[i]);return a;}
        FOR(i,0,_sz(a)-1) b[i]=add(a[i],b[i]);return b;
    }
}

ll k;
int n,ch[maxn],head[maxn],tot,sz[maxn],F[maxn],cnt;
struct edge{int to,nxt;}e[maxn<<1];

vec f[maxn],r[maxn];

void ins(int u,int v) {e[++tot]=(edge){v,head[u]},head[u]=tot;}

void dfs(int x,int fa) {
    sz[x]=1;F[x]=fa;
    for(int i=head[x],v;i;i=e[i].nxt)
        if((v=e[i].to)!=fa) {dfs(v,x);sz[x]+=sz[v];if(sz[ch[x]]<sz[v]) ch[x]=v;}
}

void solve(int lt,int rt,vec &a,vec &b) {
    if(lt==rt) return a=b=r[lt],void();
    vec al,ar,bl,br;int mid=(lt+rt)>>1;solve(lt,mid,al,bl),solve(mid+1,rt,ar,br);
    b=poly::pmul(bl,br);a=poly::padd(poly::pmul(ar,bl),al);
}

vec dfs2(int x) {
    for(int t=x;t;t=ch[t]) {
        for(int i=head[t];i;i=e[i].nxt) if(e[i].to!=F[t]&&e[i].to!=ch[t]) f[t]=dfs2(e[i].to);
        if(_sz(f[t])<1) f[t].resize(1);f[t][0]++;
        f[t].insert(f[t].begin(),0);
    }
    cnt=0;for(int t=x;t;t=ch[t]) r[++cnt]=f[t];
    vec a,b;solve(1,cnt,a,b);return a;
}

int main() {
    read(n),scanf("%lld",&k);poly::init(n<<1);k%=mod;
    for(int i=1,x,y;i<n;i++) read(x),read(y),ins(x,y),ins(y,x);
    dfs(1,0);vec res=dfs2(1);int t=1,ans=0;
    for(int i=1;i<_sz(res);i++) {
        ans=add(ans,mul(res[i],t));
        t=mul(t,mul((k+i)%mod,qpow(i,mod-2)));
    }write(ans);
    return 0;
}