Codeforces Round #572 (Div. 1)

A2

题意：给一棵树，带边权，互不相同且为偶数。每次操作是选两个叶子然后在路径上同时加一个数。初始边权全是0，求一个操作序列使得最终边权与给定边权相同。 \(n \le 1000\) ，构造的序列长度不超过 \(10^5\)

key：构造

首先，如果有二度点，那么一定无解。

所以现在每个点要不是叶子，要不就至少是三度。考虑一条边，我们只把它的边权改变，而不改变其他边。此时需要讨论这条边两段的点的度数。

如果两个点都是大于等于三度的，那么可以在一端中找到两个叶子，使得它俩的lca就是这个点。由于边权都是偶数，设其为2k，那么只需 add(a1,b1,k), add(a2,b2,k), add(a1,a2,-k), add(b1,b2,-k) 即可。其他情况同理

C

题意：给一个序列 \(b_i\) ，定义一个序列的 beauty 为 \(\min_{1\le i<j\le n}|a_i-a_j|\) 。求 \(b_i\) 中所有长度恰好为 k 的子序列的 beauty 之和。 \(k \le n \le 1000, b_i \le 10^5\)

key：dp

首先排序，然后考虑枚举beauty。可以发现 i 的转移是一个前缀和，并且随 i 单调不降，所以有一个O(n*k) 的dp。

其实真正有用的beauty不多，至多是 \(\frac{10^5}{k-1}\) ，所以复杂度是 \(O(10^5*n)\)

D

题意：给出 n 个数，每次操作是给一个数加上一个2的幂。求最少多少次操作使得整个序列的数字相同。 \(n \le 10^5, a_i \le 10^{17}\)

key：二进制，dp

显然最后全都相同的那个数至少是给定序列的最大值。并且 x 变成 y 所用的操作次数是 y-x 中二进制 1 的个数。

所以首先用最大值减去所有的数字得到新序列 \(b_i\) ，问题变成：给 \(b_i\) 加上一个数 t，使得所有数字的二进制中 1 的个数之和最小。

考虑 dp ：只需要记录当前位的进位情况就能转移。但这样的状态空间是 \(2^n\) ，然而实际情况是远远小于的。

进位发生时，当且仅当 \(t \% 2^k+b_i\%2^k \ge 2^k\) 。所以如果对 \(b_i\) 按后 k 位二进制大小排序，那么只可能是一个后缀在进位。所以状态空间变成 O(n)

所以每次转移时，只需要枚举进位情况，然后枚举当前是0还是1，计算进位数。这个进位数一定是下一个状态的后缀，所以直接转移即可。如果排序用计数排序实现，那么复杂度是 \(O(62*n)\)