CF438E The Child and Binary Tree
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题意
\(~~~~\) 给出 \(n\) 个权值 \(c_i\)，求有多少棵二叉树，其所有的点权均在这些权值之中且点权和为 \(S\in[1,m]\)。答案对 \(998244353\) 取模。
\(~~~~\) \(1\leq n,m,c_i\leq 10^5\)
题解
\(~~~~\) 首先考虑 \(\texttt{DP}\)，设 \(f_{i}\) 表示权值和为 \(i\) 且满足要求的二叉树的个数。并记 \(g_{i}\in[0,1]\) 表示 \(i\) 是否是可行的点权之一。
\(~~~~\) 先有初始值 \(f_0=1\) ，则可以推出下面这个式子：
\[\large f_{i}=\sum_{j=1}^ig_i\sum_{k=0}^{i-j}f_k\times f_{i-k-j} \]\(~~~~\) 然后不难发现把 \(f\) 和 \(g\) 看作多项式后就是个卷积形式：
\[\large f=g\ *\ f^2+1 \]\(~~~~\) 由于 \(g\) 已知，我们试图通过此来推一波 \(f\) ：
\[\large g * f^2-f+1=0\\ \large f=\dfrac{1 \pm \sqrt{1-4g}}{2g} \]\(~~~~\) 由于一些我不会推原因，\(\dfrac{1 + \sqrt{1-4g}}{2g}\) 会被舍去，所以只有 \(\dfrac{1 - \sqrt{1-4g}}{2g}\) 合法。
\(~~~~\) 理论上可做了，但是我们发现 \([x^0]g(x)=0\) ，不能求逆，所以我们进行一波分子有理化（或者叫分母无理化？）：
\[\dfrac{2}{1+\sqrt{1-4g}} \]\(~~~~\) 然后多项式开根+求逆套上来即可卷出 \(f\) 。
代码
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#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll MOD=998244353;
ll To[5000005],N;
ll qpow(ll a,ll b)
{
ll ret=1;
while(b)
{
if(b&1) ret=ret*a%MOD;
b>>=1;a=a*a%MOD;
}
return ret;
}
const ll g=3,gi=qpow(g,MOD-2);
const ll Inv2=qpow(2,MOD-2);
inline ll Add(ll a,ll b){return ((a+b)%MOD+MOD)%MOD;}
inline ll Mul(ll a,ll b){return a*b%MOD;}
void NTT(ll *S,ll op)
{
for(int i=0;i<N;i++) if(i<To[i]) swap(S[i],S[To[i]]);
for(int i=1;i<N;i<<=1)
{
ll W=qpow(op==1?g:gi,(MOD-1)/(i<<1));
for(int j=0;j<N;j+=i<<1)
{
ll w=1;
for(int k=0;k<i;k++,w=w*W%MOD)
{
ll x=S[j+k],y=Mul(S[i+j+k],w);
S[j+k]=Add(x,y);S[i+j+k]=Add(x,-y);
}
}
}
if(op==-1)
{
ll Inv=qpow(N,MOD-2);
for(int i=0;i<N;i++) S[i]=Mul(S[i],Inv);
}
}
ll C[5000005];
void GetInv(int deg,ll *A,ll *B)
{
if(deg==1){B[0]=qpow(A[0],MOD-2);return;}
GetInv((deg+1)>>1,A,B);
for(N=1;N<=(deg<<1);N<<=1);
for(int i=0;i<N;i++) To[i]=(To[i>>1]>>1)|((i&1)*(N>>1)),C[i]=A[i];
for(int i=deg;i<N;i++) C[i]=0;
NTT(C,1);NTT(B,1);
for(int i=0;i<N;i++) B[i]=Mul(Add(2ll,-Mul(C[i],B[i])),B[i]);
NTT(B,-1);
for(int i=deg;i<N;i++) B[i]=0;
}
ll inv[5000005],D[5000005];
void GetSqrt(int deg,ll *A,ll *B)
{
if(deg==1){B[0]=1;return;}
GetSqrt((deg+1)>>1,A,B);
for(N=1;N<=(deg<<1);N<<=1);
for(int i=0;i<N;i++) To[i]=(To[i>>1]>>1)|((i&1)*(N>>1)),D[i]=inv[i]=0;
for(int i=0;i<deg;i++) D[i]=A[i];
GetInv(deg,B,inv);
NTT(inv,1);NTT(D,1);NTT(B,1);
for(int i=0;i<N;i++) B[i]=Mul(Add(B[i],Mul(D[i],inv[i])),Inv2);
NTT(B,-1);
for(int i=deg;i<N;i++) B[i]=0;
}
template<typename T>void read(T &x)
{
T f=1;x=0;char s=getchar();
while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
while(s>='0'&&s<='9') {x=x*10+s-'0';s=getchar();}
x*=f;
}
template<typename T>void print(T x) {
if(x<0) putchar('-'),x=-x;
if(x>9) print(x/10);
putchar(x%10+'0');
}
ll F[1000005],G[1000005],H[1000005];
int main() {
int n,m;
scanf("%d %d",&n,&m);
for(int i=1,x;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&x);
G[x]=1;
}
G[0]=1; for(int i=1;i<=m;i++) G[i]=(MOD-4*G[i]%MOD)%MOD;
GetSqrt(m+1,G,F);F[0]++;
GetInv(m+1,F,H);
for(int i=0;i<=m;i++) H[i]=H[i]*2%MOD;
for(int i=1;i<=m;i++) printf("%lld\n",H[i]);
return 0;
}