A robot is located at the top-left corner of a m x n grid (marked 'Start' in the diagram below).
The robot can only move either down or right at any point in time. The robot is trying to reach the bottom-right corner of the grid (marked 'Finish' in the diagram below).
How many possible unique paths are there?
Above is a 7 x 3 grid. How many possible unique paths are there?
Note: m and n will be at most 100.
Example 1:
Input: m = 3, n = 2
Output: 3
Explanation:
From the top-left corner, there are a total of 3 ways to reach the bottom-right corner:
1. Right -> Right -> Down
2. Right -> Down -> Right
3. Down -> Right -> Right
Example 2:
Input: m = 7, n = 3
Output: 28
这道题让求所有不同的路径的个数，一开始还真把博主难住了，因为之前好像没有遇到过这类的问题，所以感觉好像有种无从下手的感觉。在网上找攻略之后才恍然大悟，原来这跟之前那道 Climbing Stairs 很类似，那道题是说可以每次能爬一格或两格，问到达顶部的所有不同爬法的个数。而这道题是每次可以向下走或者向右走，求到达最右下角的所有不同走法的个数。那么跟爬*问题一样，需要用动态规划 Dynamic Programming 来解，可以维护一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示到当前位置不同的走法的个数，然后可以得到状态转移方程为: dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，这里为了节省空间，使用一维数组 dp，一行一行的刷新也可以，代码如下：
解法一：
class Solution {
public:
int uniquePaths(int m, int n) {
vector<int> dp(n, );
for (int i = ; i < m; ++i) {
for (int j = ; j < n; ++j) {
dp[j] += dp[j - ];
}
}
return dp[n - ];
}
};
这道题其实还有另一种很数学的解法，参见网友 Code Ganker 的博客，实际相当于机器人总共走了 m + n - 2步，其中 m - 1 步向右走，n - 1 步向下走，那么总共不同的方法个数就相当于在步数里面 m - 1 和 n - 1 中较小的那个数的取法，实际上是一道组合数的问题，写出代码如下:
解法二：
class Solution {
public:
int uniquePaths(int m, int n) {
double num = , denom = ;
int small = m > n ? n : m;
for (int i = ; i <= small - ; ++i) {
num *= m + n - - i;
denom *= i;
}
return (int)(num / denom);
}
};
Github 同步地址：
https://github.com/grandyang/leetcode/issues/62
类似题目：
参考资料：
https://leetcode.com/problems/unique-paths/
https://leetcode.com/problems/unique-paths/discuss/22981/My-AC-solution-using-formula