1.2 谓词

一个谓词可以理解为是一个真假依赖于一个或者多个变量值的命题。因此“n 是一个完全平方数”描述的是谓词，因为直到你知道变量n可能的值是什么，你才能判断它的真假。一旦你知道，例如n等于4，该谓词就是真命题“4是一个完美平方数”。记住，没有说命题一定得为真：如果n的值是5，你就得到假命题“5是一个完美平方数”。

像其它的命题一样，谓词通常以单个字母命名。此外，一个功能类似的符号被用来表达一个有明确变量值的谓词。例如，我们可能会用“P”给上面的谓词命名：P(n) ::= “n是一个完美平方数”；通过断言P(4)是真，P(5)是假，重复上面的言论。

这个谓词符号与普通函数符号有着令人困惑的相似性。如果 P 是一个谓词，那么 P(n)是真或者假，取决于n的值。另一方面，如果 P 是一个普通函数，像 n^2+1，那么 P(n)是一个数字的量。不要将两者搞混！

1.3 公理化方法

建立数学真理的标准步骤是由欧几里得发明的，一个在公元前300年左右，工作于埃及亚历山大的数学家。他的想法起源于五个关于几何的假设，这些假设基于直接经验似乎是无法否认的。（例如，”每两点之间存在一条值线段“。）像这些被简单地认为是真的命题被称为公理。

从这些公理出发，欧几里得通过提供”证明“确立了许多其它命题的真实性。证明是一系列基于公理和先前在讨论中的命题中已被证明的条件的逻辑推演。你可能在高中的几何课上写过许多证明，并且你会在本文中看到更多。
对于一个已经被证明过的命题而言，有一些共同的术语。不同的术语暗示了命题在更大的工作范围内的作用。

• 重要的真命题称为定理。
• 引理 是一个初步命题，对于证明后面的命题很有用。
• 推论 是一个只遵循定理的几个逻辑步骤的命题。

这些定义不是精确的。事实上，有时候一个好的引理结果远远比一个最初用来证明的定理更加重要。

欧几里得的公理与证明方法，现在被称作公理化方法，至今仍然是数学的基础。事实上，只要一个被称作ZFC公理系统的少量公理，结合一些逻辑推演规则，就基本上足够衍生出所有的数学。我们将在第八章讨论这些。