Leetcode 1143. 最长公共子序列（LCS）动态规划

2023-12-26 22:49:57

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 * @lc app=leetcode.cn id=1143 lang=cpp
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 * [1143] 最长公共子序列
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 * https://leetcode-cn.com/problems/longest-common-subsequence/description/
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 * algorithms
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 * Testcase Example:  '"abcde"\n"ace"'
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 * 给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 0 。
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 * 一个字符串的 子序列
 * 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。
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 * 例如，"ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。
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 * 两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。
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 * 示例 1：
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 * 输入：text1 = "abcde", text2 = "ace" 
 * 输出：3  
 * 解释：最长公共子序列是 "ace" ，它的长度为 3 。
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 * 示例 2：
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 * 输入：text1 = "abc", text2 = "abc"
 * 输出：3
 * 解释：最长公共子序列是 "abc" ，它的长度为 3 。
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 * 示例 3：
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 * 输入：text1 = "abc", text2 = "def"
 * 输出：0
 * 解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0 。
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 * 
 * 提示：
 * 
 * 
 * 1 
 * text1 和 text2 仅由小写英文字符组成。
 * 
 * 
 */

1.基本概念

首先需要科普一下，最长公共子序列（longest common sequence）和最长公共子串（longest common substring）不是一回事儿。什么是子序列呢？即一个给定的序列的子序列，就是将给定序列中零个或多个元素去掉之后得到的结果。什么是子串呢？给定串中任意个连续的字符组成的子序列称为该串的子串。给一个图再解释一下：

如上图，给定的字符序列： {a,b,c,d,e,f,g,h}，它的子序列示例： {a,c,e,f} 即元素b,d,g,h被去掉后，保持原有的元素序列所得到的结果就是子序列。同理，{a,h},{c,d,e}等都是它的子序列。
它的字串示例：{c,d,e,f} 即连续元素c,d,e,f组成的串是给定序列的字串。同理，{a,b,c,d},{g,h}等都是它的字串。

这个问题说明白后，最长公共子序列（以下都简称LCS）就很好理解了。
给定序列s1={1,3,4,5,6,7,7,8},s2={3,5,7,4,8,6,7,8,2}，s1和s2的相同子序列，且该子序列的长度最长，即是LCS。
s1和s2的其中一个最长公共子序列是 {3,4,6,7,8}

2.动态规划

求解LCS问题，不能使用暴力搜索方法。一个长度为n的序列拥有 2的n次方个子序列，它的时间复杂度是指数阶，太恐怖了。解决LCS问题，需要借助动态规划的思想。
动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。在这类问题中，可能会有许多可行解。每一个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优值的解。动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多次。如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。这就是动态规划法的基本思路。

3.特征分析

解决LCS问题，需要把原问题分解成若干个子问题，所以需要刻画LCS的特征。

设A=“a0，a1，…，am”，B=“b0，b1，…，bn”，且Z=“z0，z1，…，zk”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：
如果am=bn，则zk=am=bn，且“z0，z1，…，z(k-1)”是“a0，a1，…，a(m-1)”和“b0，b1，…，b(n-1)”的一个最长公共子序列；
如果am!=bn，则若zk!=am，蕴涵“z0，z1，…，zk”是“a0，a1，…，a(m-1)”和“b0，b1，…，bn”的一个最长公共子序列；
如果am!=bn，则若zk!=bn，蕴涵“z0，z1，…，zk”是“a0，a1，…，am”和“b0，b1，…，b(n-1)”的一个最长公共子序列。

有些同学，一看性质就容易晕菜，所以我给出一个图来让这些同学理解一下：

以我在第1小节举的例子（S1={1,3,4,5,6,7,7,8}和S2={3,5,7,4,8,6,7,8,2}），并结合上图来说：

假如S1的最后一个元素与 S2的最后一个元素相等，那么S1和S2的LCS就等于 {S1减去最后一个元素} 与 {S2减去最后一个元素} 的 LCS 再加上 S1和S2相等的最后一个元素。

假如S1的最后一个元素与 S2的最后一个元素不等（本例子就是属于这种情况），那么S1和S2的LCS就等于： {S1减去最后一个元素} 与 S2 的LCS， {S2减去最后一个元素} 与 S1 的LCS 中的最大的那个序列。

4.递归公式

第3节说了LCS的特征，我们可以发现，假设我需要求 a1 ... am 和 b1 .. b(n-1)的LCS 和 a1 ... a(m-1) 和 b1 .. bn的LCS，一定会递归地并且重复地把如a1... a(m-1) 与 b1 ... b(n-1) 的 LCS 计算几次。所以我们需要一个数据结构来记录中间结果，避免重复计算。

假设我们用c[i,j]表示Xi 和 Yj 的LCS的长度（直接保存最长公共子序列的中间结果不现实，需要先借助LCS的长度）。其中X = {x1 ... xm}，Y ={y1...yn}，Xi = {x1 ... xi}，Yj={y1... yj}。可得递归公式如下：

5.计算LCS的长度

这里我不打算贴出相应的代码，只想把这个过程说明白。还是以s1={1,3,4,5,6,7,7,8},s2={3,5,7,4,8,6,7,8,2}为例。我们借用《算法导论》中的推导图：

图中的空白格子需要填上相应的数字（这个数字就是c[i,j]的定义，记录的LCS的长度值）。填的规则依据递归公式，简单来说：如果横竖（i,j）对应的两个元素相等，该格子的值 = c[i-1,j-1] + 1。如果不等，取c[i-1,j] 和 c[i,j-1]的最大值。首先初始化该表：

然后，一行一行地从上往下填：

S1的元素3 与 S2的元素3 相等，所以 c[2,1] = c[1,0] + 1。继续填充：

S1的元素3 与 S2的元素5 不等，c[2,2] =max(c[1,2],c[2,1])，图中c[1,2] 和 c[2,1] 背景色为浅黄色。

继续填充：

中间几行填写规则不变，直接跳到最后一行：

至此，该表填完。根据性质，c[8,9] = S1 和 S2 的 LCS的长度，即为5。

class Solution {
public:
    int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
        int m=text1.size();
        int n=text2.size();
        vector<vector<int>> dp(m+1,vector<int>(n+1,0));
        for(int i=1;i<=m;++i){
            for(int j=1;j<=n;++j){
                if(text1[i-1]==text2[j-1]){
                    dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
                }
                else
                    dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};

不需要使用额外数组的dp递归写法

class Solution {
public:
    int longestCommonSubsequence(string text1, string text2,int m,int n) {
        if(m==0 || n==0){
            return 0;
        }
        if(text1[m-1]==text2[n-1]){
            return 1+longestCommonSubsequence(text1,text2,m-1,n-1);
        }else{
            return max(longestCommonSubsequence(text1,text2,m-1,n),longestCommonSubsequence(text1,text2,m,n-1));
        }
    }
    
    int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
        int m=text1.size(),n=text2.size();
        return longestCommonSubsequence(text1,text2,m,n);
    }
};

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