HDU6942. CCPC Strings

题意：长度为\(n\)的只含有"C"或"P"的字符串共有\(2^n\)个，问：这所有\(2^n\)个字符串中含有多少个"CCPC"（每一个"CCPC"之间不能相互重叠，即"CCPCCPC"中只能算\(1\)个"CCPC"）

分析：

假设所有长度为\(n\)的"CP"字符串中互不重叠的"CCPC"的个数为\(a_n\)

若认为可以相互重叠，可以通过计算贡献的方式进行计算

//  1. CCPC***...*****（只关注子串[1...4]的贡献）
//  2. *CCPC**...*****（只关注子串[2...5]的贡献）
//  3. **CCPC*...*****（只关注子串[3...6]的贡献）
//  4. ***CCPC...*****（只关注子串[4...7]的贡献）
//  5. ****CCP...*****（只关注子串[5...8]的贡献）
//  6. *****CC...*****（只关注子串[6...9]的贡献）
//   .
//   .
//   .
//n-4. *******...CCPC*（只关注子串[n-4...n-1]的贡献）
//n-3. *******...*CCPC（只关注子串[n-3...n]的贡献）

"CCPC"有\((n-3)\)种摆法，剩下\((n-4)\)个字符随便选

答案即为\((n-3)\cdot2^{n-4}\)

然而，题目要求每一个"CCPC"之间不能相互重叠

可以发现

\(1,4\)发生重叠，\(2,5\)发生重叠，\(3,6\)发生重叠，...

和上面的计算方法一样

即"CCPCCPC"有\((n-6)\)种摆法，剩下\((n-7)\)个字符随便选

总共为\((n-6)\cdot 2^{n-7}\)

减掉这些，发现减多了

减多了哪些？

\(1,4,7\)发生重叠，\(2,5,8\)发生重叠，\(3,6,9\)发生重叠，...

即"CCPCCPCCPC"有\((n-9)\)种摆法，剩下\((n-10)\)个字符随便选

总共为\((n-9)\cdot 2^{n-10}\)

加上这些，发现加多了

加多了哪些？

……

以此类推，容斥原理

答案为\(a_{n}=\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{3}\rfloor}(-1)^{i-1}\cdot(n-3i)\cdot 2^{n-3i-1}\)

从而有这个

\[\begin{aligned} a_{n-3}&=\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac{n-3}{3}\rfloor}(-1)^{i-1}\cdot(n-3-3i)\cdot 2^{n-3-3i-1}\\ &=\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac{n-3}{3}\rfloor}(-1)^{i-1}\cdot(n-3-3i)\cdot 2^{n-3-3i-1}\\ &=\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{3}\rfloor-1}(-1)^{i-1}\cdot(n-3(i+1))\cdot 2^{n-3(i+1)-1}\\ &=\sum\limits_{i=2}^{\lfloor \frac{n}{3}\rfloor}(-1)^{i}\cdot(n-3i)\cdot 2^{n-3i-1}\\ \end{aligned} \]

所以zyf大佬送给我的递推式\(a_n=(n-3)\cdot2^{n-4}-a_{n-3}\)是对的（干得漂亮）

然而这题到这还没完，题目条件\(1\leq n \leq 10^9\)，线性递推搞不定

啊这，梦回高中

由于

\[\begin{aligned} a_n+a_{n-3}&=(n-3)\cdot2^{n-4}\\ \end{aligned} \]

有

\[\begin{aligned} \frac{8a_n}{2^{n-1}}+\frac{a_{n-3}}{2^{n-4}}&=n-3\\ \end{aligned} \]

令\(\frac{a_n}{2^{n-1}}=b_n\)，有

\[8b_n+b_{n-3}=n-3\\ 8(b_n-\frac{1}{9}n)+b_{n-3}-\frac{1}{9}n+3=0\\ 8(b_n-\frac{1}{9}n)+b_{n-3}-\frac{1}{9}(n-3)-\frac{1}{3}+3=0\\ 8(b_n-\frac{1}{9}n+\frac{8}{27})+b_{n-3}-\frac{1}{9}(n-3)+\frac{8}{27}=0\\ \]

令\(b_n-\frac{1}{9}n+\frac{8}{27}=c_n\)，有

\[c_n=-\frac{1}{8}c_{n-3} \]

由\(a_1=a_2=a_3=0\)及\(c_n=\frac{a_n}{2^{n-1}}-\frac{1}{9}n+\frac{8}{27}\)

\[c_1=\frac{5}{27}\\ c_2=\frac{2}{27}\\ c_3=-\frac{1}{27} \]

所以

\[c_{3n}=-\frac{1}{27}\cdot(-\frac{1}{8})^{n-1}\\ c_{3n+1}=\frac{5}{27}\cdot(-\frac{1}{8})^{n}\\ c_{3n+2}=\frac{2}{27}\cdot(-\frac{1}{8})^{n}\\ \]

由\(a_n=2^{n-1}(c_n+\frac{1}{9}n-\frac{8}{27})\)

\[a_{3n}=\frac{1}{54}(8\cdot(-1)^{n}+(9n-8)\cdot8^{n})\\ a_{3n+1}=\frac{1}{27}(5\cdot(-1)^{n}+(9n-5)\cdot8^{n})\\ a_{3n+2}=\frac{2}{27}(2\cdot(-1)^{n}+(9n-2)\cdot8^{n}) \]

代码：

#include <cstdio>
typedef long long Lint;
const Lint mod = 1e9 + 7;
Lint fpow(Lint a, Lint n) {
    Lint res = 1;
    for (; n; n >>= 1) {
        if (n & 1) res = res * a % mod;
        a = a * a % mod;
    }
    return res;
}
Lint minv(Lint a) { return fpow(a, mod - 2); }
Lint ainv(Lint a) { return mod - a; }
Lint mod_add(Lint a, Lint b) { return (a + b) % mod; }
Lint mod_mul(Lint a, Lint b) { return a * b % mod; }
Lint kn1n(Lint k, Lint n) { return n % 2 ? ainv(k) : k; }
const Lint inv1 = minv(54);
const Lint inv2 = minv(27);
const Lint inv3 = mod_mul(2, inv2);
int main() {
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while (T--) {
        int n;
        scanf("%d", &n);
        int r = n % 3, k = n / 3;
        Lint res = 0;
        if (r == 0) {
            res = mod_mul(inv1, mod_add(kn1n(8, k), mod_mul(mod_add(mod_mul(9, k), ainv(8)), fpow(8, k))));
        } else if (r == 1) {
            res = mod_mul(inv2, mod_add(kn1n(5, k), mod_mul(mod_add(mod_mul(9, k), ainv(5)), fpow(8, k))));
        } else {
            res = mod_mul(inv3, mod_add(kn1n(2, k), mod_mul(mod_add(mod_mul(9, k), ainv(2)), fpow(8, k))));
        }
        printf("%lld\n", res);
    }
    return 0;
}