题意

给出一个序列的以每一项结尾的 \(LIS\) 的长度a[]，求一个序列，使得以每一项为开头的最长下降子序列的长度之和最大。

\(n\leq 10^5\) 。

分析

• 最优解一定是一个排列，因为如果两个数字的大小相同，完全可以区别他们的大小，以得到更多的贡献。

• 考虑的 \(a\) 给定的限制，显然对于所有的相同大小的 \(a\) ，前一项 \(a_{p_1}\) 要大于后一项 \(a_{p_2}\)，否则一定会产生更长的上升子序列。连边\(p_2\rightarrow p_1\)表示 \(p_2\) 的值小于\(p_1\)。

• 对于 \(i\)，找到上一次出现 \(a[i]-1\) 的位置，并连边 $ {pos}_{a[i]-1}\rightarrow i$ ，表示 \(i\) 要大于此位置的值。

• 然后进行贪心的操作，每次在所有入度为0的点中选择编号最大的并赋上最小的权值。确定数值之后依次确定 \(b\) 的值就好了。

• 正确性显然，因为对于相同的 \(a_x\) 来说我们会优先考虑最靠后的 \(last\)，同时靠前的不会向 \(last\) 后边连边。

• 总时间复杂度为 \(O(nlogn)\) ，主要是 \(BIT\) 的复杂度。

代码

#include<cstdio>

#include<algorithm>

#include<cstring>

#include<cmath>

#include<cctype>

#include<queue>

#include<vector>

using namespace std;

#define fi first

#define se second

#define mp make_pair

#define pb push_back

#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)

#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].to;i;i=e[i].last,v=e[i].to)

typedef long long LL;

typedef pair<int,int> pii;

inline int gi(){

  int x=0,f=1;char ch=getchar();

  while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}

  while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-48;ch=getchar();}

  return x*f;

}

template<typename T>inline bool Max(T &a,T b){return a<b?a=b,1:0;}

template<typename T>inline bool Min(T &a,T b){return a>b?a=b,1:0;}

const int N=1e5 + 7;

int n,edc;

int head[N],ind[N],lst[N],a[N],b[N],f[N];

struct edge{

	int last,to;

	edge(){}edge(int last,int to):last(last),to(to){}

}e[N*2];

void Add(int a,int b){

	e[++edc]=edge(head[a],b),head[a]=edc;

	++ind[b];

}

int tr[N];

int lowbit(int x){return x&-x;}

void modify(int x,int y){for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) Max(tr[i],y);}

int query(int x){int res=0;for(int i=x;i;i-=lowbit(i)) Max(res,tr[i]);return res;}

priority_queue<int>Q;

void topo(){

	rep(i,1,n) if(!ind[i]) Q.push(i);int tmp=0;

	while(!Q.empty()){

		int u=Q.top();Q.pop();

		b[u]=++tmp;

		go(u)

			if(--ind[v]==0) Q.push(v);

	}

}

int main(){

	n=gi();

	rep(i,1,n){

		a[i]=gi();

		if(lst[a[i]]) Add(i,lst[a[i]]);

		if(lst[a[i]-1]) Add(lst[a[i]-1],i);

		lst[a[i]]=i;

	}

	topo();

	LL ans=0;

	for(int i=n;i;--i){

		f[i]=query(b[i]-1)+1;

		modify(b[i],f[i]);

		ans+=f[i];

	}

	printf("%lld\n",ans);

	return 0;

}