距离公式
\[\begin{aligned} |Z_1Z_2|&=|z_1-z_2|^2\\ &=(z_1-z_2)(z_1-z_2)^{*}\\ &=(z_1-z_2)(\bar{z_1}-\bar{z_2})\\ &=|z_1|^2+|z_2|^2-(z_1\bar{z_2}+\bar{z_1}z_2)\\ &=z_1\bar{z_1}+z_2\bar{z_2}-(z_1\bar{z_2}+\bar{z_1}z_2) \end{aligned} \]四点共圆公式
\[\begin{vmatrix} 1 & a &\bar{a} &a\bar{a} \\ 1 & b &\bar{b} &b\bar{b} \\ 1 & c &\bar{c} &c\bar{c} \\ 1 & d &\bar{d} &d\bar{d} \\ \end{vmatrix}=0 \]是复平面上的复数\(a,b,c,d\)代表的四点共圆的充要条件
证明：托勒密公式，把距离公式变形一下，最后整理一下
三角形外接圆公式
\[\begin{vmatrix} 1 & z_1 &\bar{z_1} &z_1\bar{z_1} \\ 1 & z_2 &\bar{z_2} &z_2\bar{z_2} \\ 1 & z_3 &\bar{z_3} &z_3\bar{z_3} \\ 1 & z &\bar{z} &z\bar{z} \\ \end{vmatrix}=0 \]三角形面积公式（有向面积）
\[S_{\Delta ABC}= \frac{i}{4} \begin{vmatrix} 1 & z_1 & \bar{z_1} \\ 1 & z_2 & \bar{z_2} \\ 1 & z_3 & \bar{z_3} \end{vmatrix} \]证明：抄课本里的，
\[\begin{aligned} S_{\Delta ABC} &=\frac{1}{2}Z_1Z_2\cdot Z_1Z_3\cdot sin\angle Z_2Z_1Z_3\\ &=\frac{1}{2}|z_1-z_2|\cdot |z_2-z_3|\cdot Im\frac{z_3-z_1}{z_2-z_1}\cdot |\frac{z_2-z_1}{z_3-z_1}| \\ &=\frac{1}{2}Im(\bar{z_1}z_2+\bar{z_2}z_3+\bar{z_3}z_1)\\ &=\frac{i}{4} \begin{vmatrix} 1 & z_1 & \bar{z_1} \\ 1 & z_2 & \bar{z_2} \\ 1 & z_3 & \bar{z_3} \end{vmatrix} \end{aligned} \]
三点共线
\[\begin{vmatrix} 1 & z_1 & \bar{z_1} \\ 1 & z_2 & \bar{z_2} \\ 1 & z_3 & \bar{z_3} \end{vmatrix}=0 \]过两点的直线公式
\[\begin{vmatrix} 1 & z_1 & \bar{z_1} \\ 1 & z_2 & \bar{z_2} \\ 1 & z & \bar{z} \end{vmatrix}=0 \]常见的直线公式
与\(O\alpha\)垂直的直线方程
\[\frac{z}{\alpha}+\frac{\bar{z}}{\bar{\alpha}}=k\ \ (k\in \mathbb{R}) \]与\(O\alpha\)斜率相等的直线方程
\[\frac{z}{\alpha}-\frac{\bar{z}}{\bar{\alpha}}=k\ \ (k\in \mathbb{R}) \]特例：\(O\alpha\)的中垂线方程
\[\frac{z}{\alpha}+\frac{\bar{z}}{\bar{\alpha}}=1 \]特例：经过\(\omega\)且与\(O\alpha\)垂直的直线方程
\[\frac{z}{\alpha}+\frac{\bar{z}}{\bar{\alpha}}=\frac{\omega}{\alpha}+\frac{\bar{\omega}}{\bar{\alpha}} \]特例：经过\(\omega\)且与\(O\alpha\)斜率相等的直线方程
\[\frac{z}{\alpha}-\frac{\bar{z}}{\bar{\alpha}}=\frac{\omega}{\alpha}-\frac{\bar{\omega}}{\bar{\alpha}} \]
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