全排列hash-康拓展开

这是对很多全排列问题适用的方法,而且还能用于一些题目的判重

第一位是3,当第一位的数小于3时,那排列数小于321 如 123、 213 ,小于3的数有1、2 。所以有2*2!个。再看小于第二位2的:小于2的数只有一个就是1 ,所以有1*1!=1 所以小于321的{1,2,3}排列数有2*2!+1*1!=5个。所以321是第6个小的数。 2*2!+1*1!+0*0!就是康托展开。

例如 123 的排序

123    0*2! + 0*1! + 0*0!         0
132   
0*2! + 1*1! + 0*0!          1
213    1*2! + 0*1! + 0*0!          2
231    1*2! + 1*1! + 0*0!          3
312    2*2! + 0*1! + 0*0!         4
321    2*2! + 1*1! + 0*0!          5

所以对于每一位数寻找后面还未出现的比它小的数的个数。

int fac[]= {1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880}; //康拖展开判重
// 0!1!2!3! 4! 5! 6! 7! 8! 9!
int cantor(int s[])//康拖展开求该序列的hash值
{
int sum=0;
for(int i=0; i<9; i++)
{
int num=0;
for(int j=i+1; j<9; j++)
if(s[j]<s[i])num++;
sum+=(num*fac[9-i-1]);
}
return sum+1;
}

  

康托展开逆运算:

{1,2,3,4,5}的全排列已经从小到大排序,要找出第16个数:

1. 首先用16-1得到15

2. 用15去除4! 得到0余15

3. 用15去除3! 得到2余3

4. 用3去除2! 得到1余1

5. 用1去除1! 得到1余0

有0个数比它小的数是1,所以第一位是1

有2个数比它小的数是3,但1已经在之前出现过了所以是4

有1个数比它小的数是2,但1已经在之前出现过了所以是3

有1个数比它小的数是2,但1,3,4都出现过了所以是5

最后一个数只能是2

所以这个数是14352

/*  康托展开的逆运算.
{1...n}的全排列,中的第k个数为s[] */
void invKT(int n, int k, int s[])
{
int i, j, t, vst[8]={0};
k--;
for (i=0; i<n; i++)
{
t = k/fac[n-i-1];
for (j=1; j<=n; j++)
if (!vst[j])
{
if (t == 0) break;
t--;
}
s[i] = j;
vst[j] = 1;
k %= fac[n-i-1];
}
}

  

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