int times = 0;
int dfn[maxn];
void dfs(int u) {
    dfn[u] = ++times;
    for (int i = p[u]; i != -1; i = E[i].next) {
        int v = E[i].v;
        if (dfn[v] == 0) {
            dfs(v);
        }
    }
}

我们在图上做对每个点只访问一次的 DFS，虽然是在图上，但是实际上，会形成一颗搜索树。在从点 u 访问点 v 的时候，如果 v 之前没有被访问过，那么我们会对 v 继续做 DFS，这样，(u, v) 就是一条树边。如果 v 已经被访问，并且 v 是 u 的一个祖先，那么 (u, v)(u,v) 就是一条 反向边(返祖边)。

如下左图，以 AA 为根结点进行 DFS，右图中的实线表示树边，虚线表示反向边。数字标识时间戳。

基于前面基础，我们现在来求图的割点。为了简化讨论，我们假设整个图是一个连通图。对于树根来说，显而易见，当且仅当它有两个或者更多的子结点的时候，它才是割点。如下图，子树 1 和子树 2 之间不会不存在任何边，如果存在的话，子树 1 DFS 的时候就会访问了子树 2 的所有点，而不会由 u 去访问子树 2，那么去掉根结点以后，会形成两个连通块。

对于非根结点，就变得复杂，但是有如下定理。

定理：在无向连通图 G 的 DFS 树中，非根结点 u 是个割点当且仅当 u 存在一个子结点 v，使得 v 及其所有后代都没有反向边连回 u 的祖先（不包括 u）。

证明：如下图，考虑 uu 的任意子结点 v，如果 v 及其后代不能连回 f，则删除 u 之后，f 和 v 不再连通；反过来如果 v 或者它的某个后代存在一条反向边连回 f，则删除 u 之后，以 v 为根的整棵子树都能通过这条反向边和 f 连通。

有了前面的定理，我们用一个 low(u) 来表示 u 以及其后代 最多经过 一条反向边能回到的最早的点的时间戳。对于树边 (u,v) 当有一个 v 满足 low(v)≥dfn(u) 时，u 就是割点。

而更新 low(u) 就很简单了，对于树边 (u,v)，有 low(u)=min(low(u), low(v))，对于 反向边 (u, v)，有 low(u)=min(low(u),dfn(v))。当然，初始的时候，low(u)=dfn(u)，我们认为自己当然可以回到自己。

经过前面这么多的分析，我们就可以完全写出代码了。注意我们的代码中需要传入一个fa参数表示父节点。

int times = 0;
int dfn[maxn], low[maxn];
bool iscut[maxn];  // 标记是否是割点
void dfs (int u, int fa) {
    dfn[u] = low[u] = ++times;
    int child = 0;  // 用来处理根结点子结点数
    for (int i = p[u]; i != -1; i = E[i].next) {
        int v = E[i].en;
        if (dfn[v] == 0) {  // v 没有被访问过，u, v 是树边
            ++child;
            dfs(v, u);
            low[u] = min(low[u], low[v]);
            if (low[v] >= dfn[u]) {
                iscut[u] = true;
            }
        } else if (dfn[v] < dfn[u] && v != fa) {  // 反向边，注意 v == fa 的时候，是访问重复的边
            low[u] = min(low[u], dfn[v]);
        }
    }
    if (fa < 0 && child == 1) {
        // fa < 0 表示根结点，之前根结点一定会被标记为割点, 取消之
        iscut[u] = false;
    }
}

注意，调用上面的函数，初始fa参数必须传入一个负数，我们一般传入-1，比如dfs(1, -1)

求出了割点以后，我们再来求点双连通分量，求点双连通分量的算法如下:
用一个栈保存边，每次访问一个树边或者反向边的时候，把这条边压入栈中。当通过边 (u, v)(u,v) 找到一个割点 u 的时候，实际上就出现了一个点双连通分量，然后我们一直弹出栈中的边，直到弹出边 (u,v) 停止，这过程中弹出来的所有的边都属于同一个点双连通分量。

所以我们可以在 O(V+E) 的时间复杂度内求出割点和点双连通分量。

代码如下（没有处理重边，若要能处理重边，需要单独标记每条边是否被访问），这里，我们用set记录每个点双连通分量的点集。

int times = 0;
int dfn[maxn], low[maxn];
int bcc_cnt = 0;  // 点双连通分量数量
bool iscut[maxn];  // 标记是否是割点
set<int> bcc[maxn];  // 记录每个点双连通分量里面的点
stack<edge> S;
void dfs (int u, int fa) {
    dfn[u] = low[u] = ++times;
    int child = 0;  // 用来处理根结点子结点数
    for (int i = p[u]; i != -1; i = E[i].next) {
        int v = E[i].v;
        if (dfn[v] == 0) {  // v 没有被访问过，u, v 是树边
            S.push(E[i]);
            ++child;
            dfs(v, u);
            low[u] = min(low[u], low[v]);
            if (low[v] >= dfn[u]) {
                iscut[u] = true;
                ++bcc_cnt;  // 增加一个点双连通分量
                while (true) {
                    edge x = S.top();
                    S.pop();
                    bcc[bcc_cnt].insert(x.u);
                    bcc[bcc_cnt].insert(x.v);
                    if (x.u == u && x.v == v) {
                        break;
                    }
                }
            }
        } else if (dfn[v] < dfn[u] && v != fa) {  // 反向边，注意 v == fa 的时候，是访问重复的边
            S.push(E[i]);
            low[u] = min(low[u], dfn[v]);
        }
    }
    if (fa < 0 && child == 1) {
        // fa < 0 表示根结点，之前根结点一定被标记为割点, 取消之
        iscut[u] = false;
    }
}

我们以下面的图为例子跑一遍算法。

对 1 号点进行 dfs。

访问 (1,2) 这条边，对 2 做 dfs，并且把边压入栈中。

访问 (2,3) 这条边，对 3 做 dfs，并且把边压入栈中。

访问 (3,1) 这条边，dfn[1]<dfn[3]，这是一条反向边。更新 low[3]=1。

访问] (3,4) 这条边，对 4 做 dfs。

访问 (4,5) 这条边，对 5 做 dfs。

访问 (5,3) 这条边，是反向边。更新 low[5]=3。

没有边访问了，现在开始回溯了。由 5 回溯到 4 更新 4 的 low[4]=3。此时 low[5]<dfn[4]，没找到割点。

然后 4 回溯到 3，此时 low[4]≥dfn[3]，所以 3 是割点了，栈一直弹出边，直到弹出 (3,4) 这条边。得到 3,4,5 是一个点双连通分量。

继续回溯，直到 1，此时 low[2]≥dfn[1]，所以 1 被设置成为割点，栈一直弹出边，直到弹出 (1,2) 这条边。得到点 1,2,3 是一个双连通分量。

最后 1 回溯，由于根结点的特殊性，取消 1 是割点的标记。

至此，算法结束，所有的割点和点双连通分量都求出来了。

总代码：

#include <iostream>
#include <stack>
#include <set>
#include <cstring>
using namespace std;
const int maxm = 1010;  // 最大边数
const int maxn = 110;  // 最大点数
struct edge {
    int u, v;
    int next;
} E[maxm];
int p[maxn], eid = 0;
void init() {
    memset(p, -1, sizeof(p));
    eid = 0;
}
void insert(int u, int v) {
    E[eid].u = u;
    E[eid].v = v;
    E[eid].next = p[u];
    p[u] = eid++;
}
int times=0;
int dfn[maxn],low[maxn];
int bcc_cnt=0;
bool iscut[maxn];
set<int> bcc[maxn];
stack<edge> S;
void dfs(int u,int fa){
    dfn[u]=low[u]=++times;
    int child=0;
    for (int i=p[u];i!=-1;i=E[i].next){
        int v=E[i].v;
        if (dfn[v]==0){
            S.push(E[i]);
            ++child;
            dfs(v,u);
            low[u]=min(low[u],low[v]);
            if (low[v]>=dfn[u]){
                iscut[u]=true;
                ++bcc_cnt;
                while (true){
                    edge x=S.top();
                    S.pop();
                    bcc[bcc_cnt].insert(x.u);
                    bcc[bcc_cnt].insert(x.v);
                    if (x.u==u && x.v==v){
                        break;
                    }
                }
            }
        }else if (dfn[v]<dfn[u] && v!=fa){
            S.push(E[i]);
            low[u]=min(low[u],dfn[v]);
        }
    }
    if (fa<0 && child==1){
        iscut[u]=false;
    }
}
int main() {
    init();
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        insert(u, v);
        insert(v, u);
    }
    memset(dfn, 0, sizeof(dfn));
    times = bcc_cnt = 0;
    dfs(1, -1);
    cout << bcc_cnt << endl;
    for (int i = 1; i <= bcc_cnt; ++i) {
        for (set<int>::iterator it = bcc[i].begin(); it != bcc[i].end(); ++it) {
            cout << (*it) << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

三.桥和边双连通分量

前面我们已经介绍了桥和边双连通分量的概念，这一节我们将重点关注如何求桥和边双连通分量。

求桥和边双连通分量还是会沿用之前求割点和点双连通的理论。

对于一条边 (u,v)，如果 v 及其后代结点能访问 u 及 u 之前，那么删掉边 (u,v) 之后，以 v 为根结点的子树和 u 能连通；反之，如果删除掉边 (u,v)，整个图就不连通了。所以一条边 (u, v) 是桥的条件是 low(v)>dfn(u)。

求边双连通分量和求点双连通分量的方法差不多，不同之处在于我们需要用栈来保存每个顶点而不是边。只需在dfs函数开头出把当前顶点 u 放入栈中，因为每个顶点只会进栈一次，我们只需用vector保存每个边双连通分量，而不需要用set。在dfs结尾，若low[u] == dfn[u]，有两种可能：

u 是根节点，此时我们需要把栈中的顶点弹出，放在一个新的双连通分量里。
u 不是根节点，说明low[u] > dfn[fa]，即fa→u 这条边为桥，我们需要把栈中的顶点弹出，直到 u 为止，然后把这些顶点放在一个新的双连通分量里。

核心代码如下（没有处理重边，若要能处理重边，需要单独标记每条边是否被访问），时间复杂度为 O(V+E)。

int times = 0;
int dfn[maxn], low[maxn];
int bcc_cnt = 0;        // 边双连通分量数量
vector<int> bcc[maxn];  // 记录每个点双连通分量里面的点
stack<int> S;
void dfs(int u, int fa) {
    dfn[u] = low[u] = ++times;
    S.push(u);
    for (int i = p[u]; i != -1; i = E[i].next) {
        int v = E[i].v;
        if (dfn[v] == 0) {  // v 没有被访问过，u, v 是树边
            dfs(v, u);
            low[u] = min(low[u], low[v]);
        } else if (dfn[v] < dfn[u] && v != fa) {  // 反向边，注意 v == fa 的时候，是访问重复的边
            low[u] = min(low[u], dfn[v]);
        }
    }
    if (low[u] == dfn[u]) {  // 此时 u 是根结点或者 fa -> u 是桥
        ++bcc_cnt;           // 增加一个边双连通分量
        while (!S.empty()) {  //从栈中弹出 u 及 u 之后的顶点
            int x = S.top();
            S.pop();
            bcc[bcc_cnt].push_back(x);
            if (x == u) break;  
        }
    }
}

总代码如下：

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <stack>
#include <vector>
using namespace std;
const int maxm = 1010;  // 最大边数
const int maxn = 110;   // 最大点数
struct edge {
    int u, v;
    int next;
} E[maxm];
int p[maxn], eid = 0;
void init() {
    memset(p, -1, sizeof(p));
    eid = 0;
}
void insert(int u, int v) {
    E[eid].u = u;
    E[eid].v = v;
    E[eid].next = p[u];
    p[u] = eid++;
}
int times = 0;
int dfn[maxn], low[maxn];
int bcc_cnt = 0;
vector<int> bcc[maxn];
stack<int> S;
void dfs(int u, int fa) {
    dfn[u] = low[u] = ++times;
    S.push(u);
    for (int i=p[u];i!=-1;i=E[i].next){
        int v=E[i].v;
        if (dfn[v]==0){
            dfs(v,u);
            low[u]=min(low[u],low[v]);
        }else if (dfn[v]<dfn[u] && v!=fa){
            low[u]=min(low[u],dfn[v]);
        }
    }
    if (low[u] == dfn[u]) {
        ++bcc_cnt;
        while (true) {
            int x = S.top();
            S.pop();
            bcc[bcc_cnt].push_back(x);
            if (x == u) break;
        }
    }
}
int main() {
    init();
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        insert(u, v);
        insert(v, u);
    }
    memset(dfn, 0, sizeof(dfn));
    times = bcc_cnt = 0;
    dfs(1, -1);
    cout << bcc_cnt << endl;
    for (int i = 1; i <= bcc_cnt; ++i) {
        for (int j = 0; j < bcc[i].size(); j++) {
            cout << bcc[i][j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

码农公寓

一.割点和点双连通分量

1.割点

2.点双连通图（点双）

3.点双连通分量（点双）

二.桥和边双连通分量

1.桥

2.边双连通图（边双）

3.边双连通分量（边双）

4.强连通分量(代码单独为一博文)

二.连通性的理解

三.求割点与点双连通分量

三.桥和边双连通分量

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