1、栈的定义
栈是一种有次序的数据项集合，在栈中，数据
项的加入和移除都仅发生在同一端,
这一端叫栈“顶top”，另一端叫栈“底base”
2、栈的性质
- 后进先出LIFO Last in First out：距离栈底越近的数据项，留在栈中的时间就越长，而最新加入栈的数据项会被最先移除。
- 反转次序：数据进栈和出栈的次序正好相反
3.栈的工作流程
抽象数据类型“栈”是一个有次序的数据集，每个数据项仅从“栈顶”一端加入到数据集中、从数据集中移除，栈具有后进先出LIFO的特性
4.栈的各种操作
- Stack()：创建一个空栈，不包含任何数据项
- push(item)：将item加入栈顶，无返回值
- pop()：将栈顶数据项移除，并返回，栈被修改
- peek()：“窥视”栈顶数据项，返回栈顶的数据项但不移除，栈不被修改
- isEmpty()：返回栈是否为空栈
- size()：返回栈中有多少个数据
例如
5.Python实现栈
将栈定义为python中的类，用列表实现栈
class Stack:
def __init__(self):
Stack.items = []
def push(self, item):
return self.items.append(item)
def pop(self):
return self.items.pop()
def peek(self):
return self.items[len(self.items) - 1]
def isEmpty(self):
return self.items == []
def size(self):
return len(self.items)
S = Stack()
print(S.size())
print(S.isEmpty())
S.push(1)
S.push(2)
S.push(3)
print(S.items)
print(S.size())
print(S.isEmpty())
S.pop()
print(S.items)
print(S.peek())
print(S.size())
print(S.isEmpty())
通常在考试中，我们不需要从0写一个栈。直接定义一个栈就用就行了。
如
S = Stack()
S.push(item)
S.pop()
S.peek()
S.size()
S.isEmpty()
6.栈的应用
6.1简单括号匹配
括号的使用必须平衡，即左右（开闭）括号数量相同。
括号匹配识别算法：
简而言之，左括号入栈，碰到右括号时，左括号出栈，栈为空且便利结束表示匹配成功，其他情况匹配失败。
def parChecking(string):
s = Stack()
result = True
for i in range(len(string)):
if string[i] == "(":
s.push("(")
else:
if s.isEmpty() == True: # 这表示右括号数量多了，匹配失败
result = False
else:
s.pop()
if s.isEmpty() == False: # 遍历结束，如果左括号多，栈非空，匹配失败
result = False
return result
print(parChecking("()"))
print(parChecking("((())"))
通用的括号匹配算法还包括了中括号和花括号，因此我们还需要加上他们的匹配判断。如果括号类型不匹配就判断为错。
def match(left, right):
lefts = "([{"
rights = ")]}"
return lefts.index(left) == rights.index(right)
def parChecking(string):
s = Stack()
result = True
for i in range(len(string)):
if string[i] in "([{":
s.push(string[i])
else:
if s.isEmpty() == True: # 这表示右括号数量多了，匹配失败
result = False
else:
top = s.pop()
if not match(top, string[i]):
result = False
if s.isEmpty() == False: # 遍历结束，如果左括号多，栈非空，匹配失败
result = False
return result
print(parChecking("[{()}]"))
print(parChecking("{)"))
6.2 表达式转换
我们平时用的都是中缀表达式，如 A + B。 + 就是运算符。 中缀表达式就是运算符在数字之间，前缀表达式时运算符在数字前面，后缀表达式是运算符在数字后面。
第二行的B * C是子表达式，所以将他们的运算符放在子表达式的前后。
再来看中缀表达式“(A+B)×C”，按照转换的规则，前缀表达式是“×+ABC”，而后缀表达式是“AB+C×”，中缀表达式转换为前缀表达式或者后缀表达式后，括号就没了，更利于计算机计算。
更多的例子
6.2.1中缀表达式转后缀和前缀的方法：
首先引入全括号形式的中缀表达式，后续要用到这个形式。
全括号形式就是把表达式能括的括号全写上。
比如 A + B × C 的全括号形式就是 (A + (B × C))，这种表达式的形式显式表达了计算次序，我们注意到每一对括号，都包含了一组完整的操作符和操作数。
无论表达式多复杂，需要转换成前缀或者后缀，只需要两个步骤：
1.将中缀表达式转换为全括号形式
2.将所有的操作符移动到子表达式所在的左括号（前缀）或者右括号（后缀）处，替代之，再删除所有的括号
6.2.1.1 中缀转后缀
看子表达式 (B × C) 的右括号，如果把操作符×移到右括号的位置，替代它，再删去，左括号，得到 BC×，这个正好把子表达式转换为后缀形式
进一步再把更多的操作符移动到相应的右括号处，替代之，再删去左括号，那么整个表达式就完成了到后缀表达式的转换
6.2.1.1 中缀转前缀
同样的，如果我们把操作符移动到左括号的位置替代之，然后删掉所有的右括号，也就得到了前缀表达式
6.2.3 通用的中缀转后缀算法
中缀表达式 A + B * C，其对应的后缀表达式是 ABC * +
- 操作数ABC的顺序没有改变。
- 操作符的出现顺序，在后缀表达式中反转了。
- 由于 * 的优先级比 + 高，所以后缀表达式中操作符的出现顺序与运算次序一致。
在中缀表达式转换为后缀形式的处理过程中，操作符比操作数要晚输出。因为在后缀表达式中，都是先写两个操作数再写他们的运算符号。
所以在扫描到对应的第二个操作数之前，需要把操作符先保存起来。
在中缀表达式转换为后缀形式的处理过程中，操作符比操作数要晚输出。所以在扫描到对应的第二个操作数之前，需要把操作符先保存起来。
这种反转特性，使得我们考虑用栈来保存暂时未处理的操作符。
对于 (A + B) × C 这个式子来说，它的后缀形式是 AB + C ×
这里+的输出比要早，主要是因为括号使得+的优先级提升，高于括号之外的 ×。
回顾刚刚所讲的内容，中缀转后缀就是把全括号形式的中缀表达式的右括号换成操作符。
所以遇到左括号，要标记下，其后出现的操作符优先级提升了，一旦扫描到对应的右括号，就可以马上输出这个操作符。
总之，在从左到右扫描逐个字符扫描中缀表达式的过程中，采用一个栈来暂存未处理的操作符。
这样，栈顶的操作符就是最近暂存进去的，当遇到一个新的操作符，就需要跟栈顶的操作符比较下优先级，再行处理。
算法流程：
- 创建空栈opstack用于暂存操作符，空表postfixList用于保存后缀表达式
- 将中缀表达式转换为token列表
- 从左到右扫描中缀表达式token列表
如果单词是操作数，则直接添加到后缀表达式列表的末尾
如果单词是左括号“(”，则压入opstack栈顶
如果单词是右括号“)”，则反复弹出opstack栈顶操作符，加入到输出列表末尾，直到碰到左括号
如果单词是操作符“*/±”，则压入opstack栈顶
•但在压入之前，要比较其与栈顶操作符的优先级
•如果栈顶的高于或等于它，就要反复弹出栈顶操作符，加入到输出列表末尾
•直到栈顶的操作符优先级低于它 - 中缀表达式列表扫描结束后 ，把opstack栈中的所有剩余操作符依次弹出，添加到输出列表末尾
- 把输出列表再用join方法合并成后缀表达式字符串，算法结束。
例如
def infixToPostfix(infixexpr):
prec = {}
prec["*"] = 3
prec["/"] = 3
prec["+"] = 2
prec["-"] = 2
prec["("] = 1 # 到此为止是在标记各操作符的优先级
tokenList = infixexpr.split() # 将中缀表达式的各token分割为列表
opStack = Stack() # 用于暂存操作符
postfixList = () # 用于保存输出结果
for token in tokenList: # 遍历整个表达式
if token in "ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ" or token in "123456789":
postfixList.append(token) # 遇到操作符时直接输出操作符
elif token == "(":
opStack.push("token")
elif token == ")":
topToken = opStack.pop()
while topToken != "(":
postfixList.append(topToken)
topToken = opStack.pop()
else:
while (not opStack.isEmpty()) and \
(prec[opStack.peek()] >= prec[token]):
postfixList.append(opStack.pop())
opStack.push(token)
while not opStack.isEmpty():
postfixList.append(opStack.pop())
return "".join(postfixList)
print(infixToPostfix("(A+B)*C"))
6.2.4 后缀表达式求值
扫描后缀表达式，操作符在操作数后面，所以暂存操作数。在碰到操作符的时候，再将暂存的两个操作数进行实际的计算。仍然是栈的特性：操作符只作用于离它最近的两个操作数。
例如
“4 5 6 * +”，我们先扫描到4、5两个操作数，还不知道对这两个操作数能做什么计算，需要继续扫描后面的符号才能知道，继续扫描，又碰到操作数6，还是不能知道如何计算，继续暂存入栈。直到“*”，现在知道是栈顶两个操作数5、6做乘法。
弹出两个操作数，计算得到结果30。注意：先弹出的是右操作数后弹出的是左操作数，这个对于-/很重要！
为了继续后续的计算，需要把这个中间结果30压入栈顶。
继续扫描后面的符号
当所有操作符都处理完毕，栈中只留下1个操作数，就是表达式的值
算法流程重点：
- 创建空栈operandStack用于暂存操作数
- 将后缀表达式用split方法解析为token的列表
- 从左到右扫描单词列表
- 如果单词是一个操作数，将单词转换为整数int，压入operandStack栈顶
- 如果单词是一个操作符（*/±），就开始求值，从栈顶弹出2个操作数，先弹出的是右操作数，后弹出的是左操作数，计算后将值重新压入栈顶
- 单词列表扫描结束后，表达式的值就在栈顶
- 弹出栈顶的值，返回。
class Stack:
def __init__(self):
Stack.items = []
def push(self, item):
return self.items.append(item)
def pop(self):
return self.items.pop()
def peek(self):
return self.items[len(self.items) - 1]
def isEmpty(self):
return self.items == []
def size(self):
return len(self.items)
def doMath(op, op1, op2):
if op == "*":
return op1 * op2
elif op == "/":
return op1 / op2
elif op == "+":
return op1 + op2
else:
return op1 - op2
def postfixEval(postfixexpr):
operandStack = Stack()
tokenList = postfixexpr.split()
for token in tokenList:
if token in "0123456789":
operandStack.push(int(token))
else:
operand2 = operandStack.pop()
operand1 = operandStack.pop()
result = doMath(token, operand1, operand2)
operandStack.push(result)
return operandStack.pop()
print(postfixEval("456*+"))
参考文献
本文的知识来源于B站视频 【慕课+课堂实录】数据结构与算法Python版-北京大学-陈斌-字幕校对-【完结！】，是对陈斌老师课程的复习总结