1 Apriori介绍
Apriori算法使用频繁项集的先验知识，使用一种称作逐层搜索的迭代方法，k项集用于探索(k+1)项集。首先，通过扫描事务（交易）记录，找出所有的频繁1项集，该集合记做L1，然后利用L1找频繁2项集的集合L2，L2找L3，如此下去，直到不能再找到任何频繁k项集。最后再在所有的频繁集中找出强规则，即产生用户感兴趣的关联规则。
其中，Apriori算法具有这样一条性质：任一频繁项集的所有非空子集也必须是频繁的。因为假如P(I)< 最小支持度阈值，当有元素A添加到I中时，结果项集（A∩I）不可能比I出现次数更多。因此A∩I也不是频繁的。
2 连接步和剪枝步
在上述的关联规则挖掘过程的两个步骤中，第一步往往是总体性能的瓶颈。Apriori算法采用连接步和剪枝步两种方式来找出所有的频繁项集。
1） 连接步
为找出Lk（所有的频繁k项集的集合），通过将Lk-1（所有的频繁k-1项集的集合）与自身连接产生候选k项集的集合。候选集合记作Ck。设l1和l2是Lk-1中的成员。记li[j]表示li中的第j项。假设Apriori算法对事务或项集中的项按字典次序排序，即对于（k-1）项集li，li[1]<li[2]<……….<li[k-1]。将Lk-1与自身连接，如果(l1[1]=l2[1])&&( l1[2]=l2[2])&&……..&& (l1[k-2]=l2[k-2])&&(l1[k-1]<l2[k-1])，那认为l1和l2是可连接。连接l1和l2 产生的结果是{l1[1],l1[2],……,l1[k-1],l2[k-1]}。
2） 剪枝步
CK是LK的超集，也就是说，CK的成员可能是也可能不是频繁的。通过扫描所有的事务（交易），确定CK中每个候选的计数，判断是否小于最小支持度计数，如果不是，则认为该候选是频繁的。为了压缩Ck,可以利用Apriori性质：任一频繁项集的所有非空子集也必须是频繁的，反之，如果某个候选的非空子集不是频繁的，那么该候选肯定不是频繁的，从而可以将其从CK中删除。
（Tip：为什么要压缩CK呢？因为实际情况下事务记录往往是保存在外存储上，比如数据库或者其他格式的文件上，在每次计算候选计数时都需要将候选与所有事务进行比对，众所周知，访问外存的效率往往都比较低，因此Apriori加入了所谓的剪枝步，事先对候选集进行过滤，以减少访问外存的次数。）
3 Apriori算法实例
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交易ID |
商品ID列表 |
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T100 |
I1，I2，I5 |
|
T200 |
I2，I4 |
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T300 |
I2，I3 |
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T400 |
I1，I2，I4 |
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T500 |
I1，I3 |
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T600 |
I2，I3 |
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T700 |
I1，I3 |
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T800 |
I1，I2，I3，I5 |
|
T900 |
I1，I2，I3 |
上图为某商场的交易记录，共有9个事务，利用Apriori算法寻找所有的频繁项集的过程如下:
详细介绍下候选3项集的集合C3的产生过程：从连接步，首先C3={{I1,I2,I3}，{I1,I2,I5}，{I1,I3,I5}，{I2,I3,I4}，{I2,I3,I5}，{I2,I4,I5}}（C3是由L2与自身连接产生）。根据Apriori性质，频繁项集的所有子集也必须频繁的，可以确定有4个候选集{I1,I3,I5}，{I2,I3,I4}，{I2,I3,I5}，{I2,I4,I5}}不可能时频繁的，因为它们存在子集不属于频繁集，因此将它们从C3中删除。注意，由于Apriori算法使用逐层搜索技术，给定候选k项集后，只需检查它们的（k-1）个子集是否频繁。
3． Apriori伪代码
|
算法：Apriori 输入：D - 事务数据库；min_sup - 最小支持度计数阈值 输出：L - D中的频繁项集 方法： L1=find_frequent_1-itemsets(D); // 找出所有频繁1项集 For(k=2;Lk-1!=null;k++){ Ck=apriori_gen(Lk-1); // 产生候选，并剪枝 For each 事务t in D{ // 扫描D进行候选计数 Ct =subset(Ck,t); // 得到t的子集 For each 候选c 属于 Ct c.count++; } Lk={c属于Ck | c.count>=min_sup} } Return L=所有的频繁集； Procedure apriori_gen(Lk-1:frequent(k-1)-itemsets) For each项集l1属于Lk-1 For each项集 l2属于Lk-1 If((l1[1]=l2[1])&&( l1[2]=l2[2])&&…….. && (l1[k-2]=l2[k-2])&&(l1[k-1]<l2[k-1])) then{ c=l1连接l2 //连接步：产生候选 if has_infrequent_subset(c,Lk-1) then delete c; //剪枝步：删除非频繁候选 else add c to Ck; } Return Ck;
Procedure has_infrequent_sub(c:candidate k-itemset; Lk-1:frequent(k-1)-itemsets) For each(k-1)-subset s of c If s不属于Lk-1 then Return true; Return false; |
4． 由频繁项集产生关联规则
Confidence(A->B)=P(B|A)=support_count(AB)/support_count(A)
关联规则产生步骤如下：
1） 对于每个频繁项集l，产生其所有非空真子集；
2） 对于每个非空真子集s,如果support_count(l)/support_count(s)>=min_conf，则输出 s->(l-s)，其中，min_conf是最小置信度阈值。
例如，在上述例子中，针对频繁集{I1，I2，I5}。可以产生哪些关联规则？该频繁集的非空真子集有{I1，I2}，{I1，I5}，{I2，I5}，{I1 }，{I2}和{I5}，对应置信度如下：
I1&&I2->I5 confidence=2/4=50%
I1&&I5->I2 confidence=2/2=100%
I2&&I5->I1 confidence=2/2=100%
I1 ->I2&&I5 confidence=2/6=33%
I2 ->I1&&I5 confidence=2/7=29%
I5 ->I1&&I2 confidence=2/2=100%
如果min_conf=70%,则强规则有I1&&I5->I2，I2&&I5->I1，I5 ->I1&&I2。
5． Apriori Java代码
package com.apriori;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Collections;
import java.util.HashMap;
import java.util.List;
import java.util.Map;
import java.util.Set;
public class Apriori {
private final static int SUPPORT = 2; // 支持度阈值
private final static double CONFIDENCE = 0.7; // 置信度阈值
private final static String ITEM_SPLIT=";"; // 项之间的分隔符
private final static String CON="->"; // 项之间的分隔符
private final static List<String> transList=new ArrayList<String>(); //所有交易
static{//初始化交易记录
transList.add("1;2;5;");
transList.add("2;4;");
transList.add("2;3;");
transList.add("1;2;4;");
transList.add("1;3;");
transList.add("2;3;");
transList.add("1;3;");
transList.add("1;2;3;5;");
transList.add("1;2;3;");
}
public Map<String,Integer> getFC(){
Map<String,Integer> frequentCollectionMap=new HashMap<String,Integer>();//所有的频繁集
frequentCollectionMap.putAll(getItem1FC());
Map<String,Integer> itemkFcMap=new HashMap<String,Integer>();
itemkFcMap.putAll(getItem1FC());
while(itemkFcMap!=null&&itemkFcMap.size()!=0){
Map<String,Integer> candidateCollection=getCandidateCollection(itemkFcMap);
Set<String> ccKeySet=candidateCollection.keySet();
//对候选集项进行累加计数
for(String trans:transList){
for(String candidate:ccKeySet){
boolean flag=true;// 用来判断交易中是否出现该候选项，如果出现，计数加1
String[] candidateItems=candidate.split(ITEM_SPLIT);
for(String candidateItem:candidateItems){
if(trans.indexOf(candidateItem+ITEM_SPLIT)==-1){
flag=false;
break;
}
}
if(flag){
Integer count=candidateCollection.get(candidate);
candidateCollection.put(candidate, count+1);
}
}
}
//从候选集中找到符合支持度的频繁集项
itemkFcMap.clear();
for(String candidate:ccKeySet){
Integer count=candidateCollection.get(candidate);
if(count>=SUPPORT){
itemkFcMap.put(candidate, count);
}
}
//合并所有频繁集
frequentCollectionMap.putAll(itemkFcMap);
}
return frequentCollectionMap;
}
private Map<String,Integer> getCandidateCollection(Map<String,Integer> itemkFcMap){
Map<String,Integer> candidateCollection=new HashMap<String,Integer>();
Set<String> itemkSet1=itemkFcMap.keySet();
Set<String> itemkSet2=itemkFcMap.keySet();
for(String itemk1:itemkSet1){
for(String itemk2:itemkSet2){
//进行连接
String[] tmp1=itemk1.split(ITEM_SPLIT);
String[] tmp2=itemk2.split(ITEM_SPLIT);
String c="";
if(tmp1.length==1){
if(tmp1[0].compareTo(tmp2[0])<0){
c=tmp1[0]+ITEM_SPLIT+tmp2[0]+ITEM_SPLIT;
}
}else{
boolean flag=true;
for(int i=0;i<tmp1.length-1;i++){
if(!tmp1[i].equals(tmp2[i])){
flag=false;
break;
}
}
if(flag&&(tmp1[tmp1.length-1].compareTo(tmp2[tmp2.length-1])<0)){
c=itemk1+tmp2[tmp2.length-1]+ITEM_SPLIT;
}
}
//进行剪枝
boolean hasInfrequentSubSet = false;
if (!c.equals("")) {
String[] tmpC = c.split(ITEM_SPLIT);
for (int i = 0; i < tmpC.length; i++) {
String subC = "";
for (int j = 0; j < tmpC.length; j++) {
if (i != j) {
subC = subC+tmpC[j]+ITEM_SPLIT;
}
}
if (itemkFcMap.get(subC) == null) {
hasInfrequentSubSet = true;
break;
}
}
}else{
hasInfrequentSubSet=true;
}
if(!hasInfrequentSubSet){
candidateCollection.put(c, 0);
}
}
}
return candidateCollection;
}
private Map<String,Integer> getItem1FC(){
Map<String,Integer> sItem1FcMap=new HashMap<String,Integer>();
Map<String,Integer> rItem1FcMap=new HashMap<String,Integer>();//频繁1项集
for(String trans:transList){
String[] items=trans.split(ITEM_SPLIT);
for(String item:items){
Integer count=sItem1FcMap.get(item+ITEM_SPLIT);
if(count==null){
sItem1FcMap.put(item+ITEM_SPLIT, 1);
}else{
sItem1FcMap.put(item+ITEM_SPLIT, count+1);
}
}
}
Set<String> keySet=sItem1FcMap.keySet();
for(String key:keySet){
Integer count=sItem1FcMap.get(key);
if(count>=SUPPORT){
rItem1FcMap.put(key, count);
}
}
return rItem1FcMap;
}
public Map<String,Double> getRelationRules(Map<String,Integer> frequentCollectionMap){
Map<String,Double> relationRules=new HashMap<String,Double>();
Set<String> keySet=frequentCollectionMap.keySet();
for (String key : keySet) {
double countAll=frequentCollectionMap.get(key);
String[] keyItems = key.split(ITEM_SPLIT);
if(keyItems.length>1){
List<String> source=new ArrayList<String>();
Collections.addAll(source, keyItems);
List<List<String>> result=new ArrayList<List<String>>();
buildSubSet(source,result);//获得source的所有非空子集
for(List<String> itemList:result){
if(itemList.size()<source.size()){//只处理真子集
List<String> otherList=new ArrayList<String>();
for(String sourceItem:source){
if(!itemList.contains(sourceItem)){
otherList.add(sourceItem);
}
}
String reasonStr="";//前置
String resultStr="";//结果
for(String item:itemList){
reasonStr=reasonStr+item+ITEM_SPLIT;
}
for(String item:otherList){
resultStr=resultStr+item+ITEM_SPLIT;
}
double countReason=frequentCollectionMap.get(reasonStr);
double itemConfidence=countAll/countReason;//计算置信度
if(itemConfidence>=CONFIDENCE){
String rule=reasonStr+CON+resultStr;
relationRules.put(rule, itemConfidence);
}
}
}
}
}
return relationRules;
}
private void buildSubSet(List<String> sourceSet, List<List<String>> result) {
// 仅有一个元素时，递归终止。此时非空子集仅为其自身，所以直接添加到result中
if (sourceSet.size() == 1) {
List<String> set = new ArrayList<String>();
set.add(sourceSet.get(0));
result.add(set);
} else if (sourceSet.size() > 1) {
// 当有n个元素时，递归求出前n-1个子集，在于result中
buildSubSet(sourceSet.subList(0, sourceSet.size() - 1), result);
int size = result.size();// 求出此时result的长度，用于后面的追加第n个元素时计数
// 把第n个元素加入到集合中
List<String> single = new ArrayList<String>();
single.add(sourceSet.get(sourceSet.size() - 1));
result.add(single);
// 在保留前面的n-1子集的情况下，把第n个元素分别加到前n个子集中，并把新的集加入到result中;
// 为保留原有n-1的子集，所以需要先对其进行复制
List<String> clone;
for (int i = 0; i < size; i++) {
clone = new ArrayList<String>();
for (String str : result.get(i)) {
clone.add(str);
}
clone.add(sourceSet.get(sourceSet.size() - 1));
result.add(clone);
}
}
}
public static void main(String[] args){
Apriori apriori=new Apriori();
Map<String,Integer> frequentCollectionMap=apriori.getFC();
System.out.println("----------------频繁集"+"----------------");
Set<String> fcKeySet=frequentCollectionMap.keySet();
for(String fcKey:fcKeySet){
System.out.println(fcKey+" : "+frequentCollectionMap.get(fcKey));
}
Map<String,Double> relationRulesMap=apriori.getRelationRules(frequentCollectionMap);
System.out.println("----------------关联规则"+"----------------");
Set<String> rrKeySet=relationRulesMap.keySet();
for(String rrKey:rrKeySet){
System.out.println(rrKey+" : "+relationRulesMap.get(rrKey));
}
}
}