机器学习：

研究计算机怎样模拟或实现人类的学习行为，以获取新的知识或技能，重新组织已有的知识结构，使之不断改善自身的性能。

实现：训练和预测，类似于归纳和演绎

归纳：从具体案例中抽象一般规律，机器学习中的“训练”亦是如此。从一定数量的样本（已知模型输入X和模型输出Y）中，学习输出Y与输入X的关系（可以想象成是某种表达式）。

演绎：从一般规律推导出具体案例的结果，机器学习中的“预测”亦是如此。基于训练得到的Y与X之间的关系，如出现新的输入X，计算出输出Y。通常情况下，如果通过模型计算的输出和真实场景的输出一致，则说明模型是有效的。

确定模型参数

模型有效的基本条件是能够拟合已知的样本

损失函数Loss

是衡量模型预测值与真实值差距的评价函数。H(w,X)的输出与真实输出Y差值。

机器只能通过尝试答对（最小化损失）大量的习题（已知样本）来学习知识（模型参数w），并期望用学习到的知识（模型参数w）所代表的模型H(w,X)，回答不知道答案的考试题（未知样本）。最小化损失是模型的优化目标，实现损失最小化的方法称为优化算法，也称为寻解算法（找到使得损失函数最小的参数解）。参数w和输入X组成公式的基本结构称为假设。由此可见，模型假设、评价函数（损失/优化目标）和优化算法是构成模型的三个部分。

深度学习

那么相比传统的机器学习算法，深度学习做出了哪些改进呢？其实两者在理论结构上是一致的，即：模型假设、评价函数和优化算法，其根本差别在于假设的复杂度

深度学习的模型可以视为是输入到输出的映射函数

人工神经网络包括多个神经网络层，如卷积层、全连接层、LSTM等，每一层又包括很多神经元，超过三层的非线性神经网络都可以被称为深度神经网络。

• 神经元： 神经网络中每个节点称为神经元，由两部分组成：
  • 加权和：将所有输入加权求和。
  • 非线性变换（激活函数）：加权和的结果经过一个非线性函数变换，让神经元计算具备非线性的能力。
• 多层连接： 大量这样的节点按照不同的层次排布，形成多层的结构连接起来，即称为神经网络。
• 前向计算： 从输入计算输出的过程，顺序从网络前至后。
• 计算图： 以图形化的方式展现神经网络的计算逻辑又称为计算图。我们也可以将神经网络的计算图以公式的方式表达，如下：

Y=f3(f2(f1(w1⋅x1+w2⋅x2+w3⋅x3+b)+…)…)…)

由此可见，神经网络并没有那么神秘，它的本质是一个含有很多参数的“大公式”。

线性回归模型以均方差作为损失函数

神经网络的标准结构中每个神经元由加权和与非线性变换构成，然后将多个神经元分层的摆放并连接形成神经网络。线性回归模型可以认为是神经网络模型的一种极简特例，是一个只有加权和、没有非线性变换的神经元（无需形成网络）

构建神经网络/深度学习模型的基本步骤：

一、数据处理

数据处理包含五个部分：数据导入、数据形状变换、数据集划分、数据归一化处理和封装load data函数。

2）数据形状变换

由于读入的原始数据是1维的，所有数据都连在一起。因此需要我们将数据的形状进行变换，形成一个2维的矩阵，每行为一个数据样本（14个值），每个数据样本包含13个X（影响房价的特征）和一个Y（该类型房屋的均价）。

3）数据集划分

将数据集划分成训练集和测试集，其中训练集用于确定模型的参数，测试集用于评判模型的效果。这与学生时代的授课和考试关系比较类似，因为我们希望模型学习的是规律而不是数据本身

4）数据归一化处理

对每个特征进行归一化处理（（Xi-最小值）/极差），使得每个特征的取值缩放到0~1之间。这样做有两个好处：一是模型训练更高效；二是特征前的权重大小可以代表该变量对预测结果的贡献度（因为每个特征值本身的范围相同）。

二、模型设计

模型设计是深度学习模型关键要素之一，也称为网络结构设计，相当于模型的假设空间，即实现模型“前向计算”（从输入到输出）的过程。

这个从特征和参数计算输出值的过程称为“前向计算”。

四、训练过程

如何求解参数w和b的数值，这个过程也称为模型训练过程。训练过程是深度学习模型的关键要素之一，其目标是让定义的损失函数Loss尽可能的小，也就是说找到一个参数解w和b，使得损失函数取得极小值。

梯度下降法

在现实中存在大量的函数正向求解容易，但反向求解较难，被称为单向函数，这种函数在密码学中有大量的应用。密码锁的特点是可以迅速判断一个密钥是否是正确的(已知x，求yy很容易)，但是即使获取到密码锁系统，无法破解出正确的密钥是什么（已知y，求x很难）。求解Loss函数最小值可以这样实现：从当前的参数取值，一步步的按照下坡的方向下降，直到走到最低点。训练的关键是找到一组(w,b)，使得损失函数L取极小值。

w5 = np.arange(-160.0, 160.0, 1.0)//起始点、终止点、步长（arange函数用于创建等差数组）
losses = np.zeros([len(w5), len(w9)])//返回给定形状和类型的新数组，用0填充。
range(start, stop, step])

参数说明：

• start: 计数从 start 开始。默认是从 0 开始。例如range（5）等价于range（0， 5）;
• stop: 计数到 stop 结束，但不包括 stop。例如：range（0， 5） 是[0, 1, 2, 3, 4]没有5
• step：步长，默认为1。例如：range（0， 5） 等价于 range(0, 5, 1)

由此可见，均方误差表现的“圆滑”的坡度有两个好处：

• 曲线的最低点是可导的。
• 越接近最低点，曲线的坡度逐渐放缓，有助于通过当前的梯度来判断接近最低点的程度（是否逐渐减少步长，以免错过最低点）。

而绝对值误差是不具备这两个特性的，这也是损失函数的设计不仅仅要考虑“合理性”，还要追求“易解性”的原因。

现在我们要找出一组[w5,w9]的值，使得损失函数最小，实现梯度下降法的方案如下：

步骤1：随机的选一组初始值，例如：[w5,w9]=[−100.0,−100.0]

步骤2：选取下一个点[w5′,w9′]使得L(w5′,w9′)<L(w5,w9)

步骤3：重复步骤2，直到损失函数几乎不再下降。

如何选择[w5′,w9′]是至关重要的，第一要保证L是下降的，第二要使得下降的趋势尽可能的快。微积分的基础知识告诉我们，沿着梯度的反方向，是函数值下降最快的方向，简单理解，函数在某一个点的梯度方向是曲线斜率最大的方向，但梯度方向是向上的，所以下降最快的是梯度的反方向。

通过模型计算x1

​表示的影响因素所对应的房价应该是z, 但实际数据告诉我们房价是y。这时我们需要有某种指标来衡量预测值z跟真实值y之间的差距。对于回归问题，最常采用的衡量方法是使用均方误差作为评价模型好坏的指标，具体定义如下：

Loss=（y-z）^{2}

因为计算损失函数时需要把每个样本的损失函数值都考虑到，所以我们需要对单个样本的损失函数进行求和，并除以样本总数N。为了使梯度计算更加简洁，引入因子\frac{1}{2}，定义损失函数如下：

L=\frac{1}{2N}\Sigma_{i=1}^{N} (y_{i}-z_{i})^{2}

N——样本总数

y——真实值

z——预测值

其中z_{i}是网络对第i个样本的预测值：

Python2.6 开始，新增了一种格式化字符串的函数 str.format()，它增强了字符串格式化的功能。

基本语法是通过 {} 和 : 来代替以前的 % 。

format 函数可以接受不限个参数，位置可以不按顺序。

>>>"{} {}".format("hello", "world")    # 不设置指定位置，按默认顺序
'hello world'
 
>>> "{0} {1}".format("hello", "world")  # 设置指定位置
'hello world'
 
>>> "{1} {0} {1}".format("hello", "world")  # 设置指定位置
'world hello world'

也可以向 str.format() 传入对象：

class AssignValue(object):
    def __init__(self, value):
        self.value = value
my_value = AssignValue(6)
print('value 为: {0.value}'.format(my_value))  # "0" 是可选的
>>> print("{:.2f}".format(3.1415926))//格式化数字
结果：3.14
# axis = 0 表示把每一行做相加然后再除以总的行数
gradient_w = np.mean(gradient_w, axis=0)
gradient_w = gradient_w[:, np.newaxis]#增加维度

下面我们开始研究更新梯度的方法。首先沿着梯度的反方向移动一小步，找到下一个点P1，观察损失函数的变化。

# 在[w5, w9]平面上，沿着梯度的反方向移动到下一个点P1
# 定义移动步长 eta
eta = 0.1
# 更新参数w5和w9
net.w[5] = net.w[5] - eta * gradient_w5
net.w[9] = net.w[9] - eta * gradient_w9

每次更新参数使用的语句： net.w[5] = net.w[5] - eta * gradient_w5

• 相减：参数需要向梯度的反方向移动。
• eta：控制每次参数值沿着梯度反方向变动的大小，即每次移动的步长，又称为学习率。

为什么之前要做输入特征的归一化，保持尺度一致？这是为了让统一的步长更加合适。

特征输入归一化后，不同参数输出的Loss是一个比较规整的曲线，学习率可以设置成统一的值 ；特征输入未归一化时，不同特征对应的参数所需的步长不一致，尺度较大的参数需要大步长，尺寸较小的参数需要小步长，导致无法设置统一的学习率。

实现逻辑：“前向计算输出、根据输出和真实值计算Loss、基于Loss和输入计算梯度、根据梯度更新参数值”四个部分反复执行，直到到损失函数最小。

class Network(object):
    def __init__(self, num_of_weights):
        # 随机产生w的初始值
        # 为了保持程序每次运行结果的一致性，此处设置固定的随机数种子
        np.random.seed(0)
        self.w = np.random.randn(num_of_weights, 1)
        self.b = 0.
        
    def forward(self, x):
        z = np.dot(x, self.w) + self.b
        return z
    
    def loss(self, z, y):
        error = z - y
        num_samples = error.shape[0]
        cost = error * error
        cost = np.sum(cost) / num_samples
        return cost
    
    def gradient(self, x, y):
        z = self.forward(x)
        gradient_w = (z-y)*x
        gradient_w = np.mean(gradient_w, axis=0)
        gradient_w = gradient_w[:, np.newaxis]
        gradient_b = (z - y)
        gradient_b = np.mean(gradient_b)        
        return gradient_w, gradient_b
    
    def update(self, gradient_w, gradient_b, eta = 0.01):
        self.w = self.w - eta * gradient_w
        self.b = self.b - eta * gradient_b
        
    def train(self, x, y, iterations=100, eta=0.01):
        losses = []
        for i in range(iterations):
            z = self.forward(x)
            L = self.loss(z, y)
            gradient_w, gradient_b = self.gradient(x, y)
            self.update(gradient_w, gradient_b, eta)
            losses.append(L)
            if (i+1) % 10 == 0:
                print('iter {}, loss {}'.format(i, L))
        return losses
# 获取数据
train_data, test_data = load_data()
x = train_data[:, :-1]
y = train_data[:, -1:]
# 创建网络
net = Network(13)
num_iterations=1000
# 启动训练
losses = net.train(x,y, iterations=num_iterations, eta=0.01)
# 画出损失函数的变化趋势
plot_x = np.arange(num_iterations)
plot_y = np.array(losses)
plt.plot(plot_x, plot_y)
plt.show()

随机梯度下降法（ Stochastic Gradient Descent）

在上述程序中，每次损失函数和梯度计算都是基于数据集中的全量数据。对于波士顿房价预测任务数据集而言，样本数比较少，只有404个。但在实际问题中，数据集往往非常大，如果每次都使用全量数据进行计算，效率非常低，通俗地说就是“杀鸡焉用牛刀”。由于参数每次只沿着梯度反方向更新一点点，因此方向并不需要那么精确。一个合理的解决方案是每次从总的数据集中随机抽取出小部分数据来代表整体，基于这部分数据计算梯度和损失来更新参数，这种方法被称作随机梯度下降法。核心概念如下：

• mini-batch：每次迭代时抽取出来的一批数据被称为一个mini-batch。
• batch_size：一个mini-batch所包含的样本数目称为batch_size。
• epoch：当程序迭代的时候，按mini-batch逐渐抽取出样本，当把整个数据集都遍历到了的时候，则完成了一轮训练，也叫一个epoch。启动训练时，可以将训练的轮数num_epochs和batch_size作为参数传入。

数据处理代码修改

数据处理需要实现拆分数据批次和样本乱序（为了实现随机抽样的效果）两个功能。

train_data中一共包含404条数据，如果batch_size=10，即取前0-9号样本作为第一个mini-batch，命名train_data1

使用train_data1的数据（0-9号样本）计算梯度并更新网络参数。再取出10-19号样本作为第二个mini-batch，计算梯度并更新网络参数。按此方法不断的取出新的mini-batch，并逐渐更新网络参数。

接下来，将train_data分成大小为batch_size的多个mini_batch，如下代码所示：将train_data分成 404/10+1=41 个 mini_batch，其中前40个mini_batch，每个均含有10个样本，最后一个mini_batch只含有4个样本。

batch_size = 10
n = len(train_data)
mini_batches = [train_data[k:k+batch_size] for k in range(0, n, batch_size)]
print('total number of mini_batches is ', len(mini_batches))
print('first mini_batch shape ', mini_batches[0].shape)
print('last mini_batch shape ', mini_batches[-1].shape)

另外，这里是按顺序读取mini_batch，而SGD里面是随机抽取一部分样本代表总体。为了实现随机抽样的效果，我们先将train_data里面的样本顺序随机打乱，然后再抽取mini_batch。随机打乱样本顺序，需要用到np.random.shuffle函数。

通过大量实验发现，模型对最后出现的数据印象更加深刻。训练数据导入后，越接近模型训练结束，最后几个批次数据对模型参数的影响越大。为了避免模型记忆影响训练效果，需要进行样本乱序操作。