【GCJ2008E】日程表最小割

2022-07-15 13:32:04

Google Code Jam 2008 E 日程表

【题目描述】

热情的选手Sphinny正在看新一年的日程表，并发现已经安排了很多编程竞赛。她将这一年的每一天都用以下三种方式之一在日程表上打标记。

1.白色：这一天她将不参加竞赛。或许这一天没有预定的竞赛，或许这一天有更重要的事情要做（生活中肯定还有其他美好的事情）。

2.蓝色：这一天她将参加一场竞赛。

3.问号：这一天有预定好的竞赛，但她还没有决定好是否参加。

为了简化问题，我们假设没有资格的概念：你不必参加一场比赛去取得另一场比赛的参赛资格。

Sphinny生活的世界与我们的世界有所不同，那个世界里一年有n个月，每个月恰有m天。

下面的图片是一张5个月，每个月有8天的日程表。上面有15天标记为蓝色，5天标记了问号。

看她美丽的日程表。Sphinny认为对于每一天，有四天与它相邻（可能有的不存在）：同一个月的前一天，同一个月的后一天，前一个月的同一天，后一个月的同一天。

Sphinny想最大化所有竞赛的喜悦值之和。一场竞赛的喜悦值的计算方式是：

1.初始为4。

2.每有与那一天相邻的一天要参赛，喜悦值减1。（你可以认为Sphinny喜欢竞赛，但连续参赛让她感觉很累。并且出于审美的原因，在相邻两个月的同一天参赛也不是很好。）

现在，Sphinny想计划这一年，并决定把每一个问号标记都改为白色标记或蓝色标记。她的目标很简单，就是最大化总喜悦值。

下图是上面例子的一种解决方案。通过把2个问号标记变为蓝色标记，剩下的3个问号标记变为白色标记，她可以得到喜悦值42。

【输入格式】

第一行一个整数T表示测试数据组数。

对于每一组数据：第一行两个整数n，m表示有n个月，每个月有m天。之后n行每行一个长度为m的字符串，第i行第j个字符表示第i个月的第j 天的状态，“#”表示这一天被标记为蓝色，“.”表示这一天被标记为白色，"?”表示这一天被标记为问号。

【输出格式】

对于每一组数据，输出： Case #X: Y

X是第几组测试数据，Y是最大总喜悦值。

【输入样例】

3 3

.?.

.#.

5 8

.#...##.

.##..?..

.###.#

.# ??#.

.?.. ##

#?#...

【输出样例】

Case #1: 8

Case #2: 42

【数据范围】

对于30%的数据，1≤n,m≤5

对于60%的数据，1≤n,m≤15

对于100%的数据，1≤n,m≤50，1≤T≤100

Solution

评测链接评测数据

30%乱搞暴力 60%可以状压DP 100%最小割

要求总收益最大，可以转化为 损失最小 ，然后答案就是可以获得的最大总收益-最小损失可以利用最小割来求解

考虑对方格进行黑白染色

“.”点对答案没有影响，所以不用考虑，考虑“#”“?”的相互影响即可

那么我们先预处理出$tot=\sum val[i] + \sum sc[i] $ 其中 $val[i]$表示“?”点的预期得分（4-2*四联通的“#”数），$sc[i]$表示已经确定的“#”的确定得分

那么考虑最小割建模

S连白色“?”点，容量为 $val[i]$

黑色“?”点连T，容量为 $val[i]$

相邻的黑白点，由白“?”点向黑“?”点，容量为$2$

考虑一个割，如果割的是与S相连的边，表示这个白点不变蓝，如果割与T相连，表示这个黑点不变蓝，如果割中间边，表示都变蓝

这里有个值得注意的地方，对于一个“?”点，如果他的四联通中有$>=2$个“#”点，那么这个点我们可以忽略

最后答案为$Ans=tot-mincut$

faebdc学长的标解：

初始化ans为所有问号标记都为白色标记时的喜悦值，再将ans加上问号标记个数的4倍。那么：

. 问号标记变为白色标记，ans要减4。

.问号标记变为蓝色标记，若它周围有tot个一开始就是蓝色的标记，ans要减去2*tot。

. 两个相邻的问号标记?_1和?_2都变为蓝色标记，ans要减去2。

建图时，让每一个问号标记对应着图中的一个点。考虑前两种情况，可以让每个点与源点、汇点各连一条边，流量为4和2*tot。考虑第三种情况，?_1和?_2都变为蓝色标记时，ans要减去2，可以使用下图这样的建图方式。

这样，只有相邻两个问号标记都变为蓝色标记时，连接这两个问号标记的边才会被割掉，使ans减小2。

将网格染色，相邻的格子颜色不同，就会形成二分图。一种颜色的点用?_1的连接方式，另一种颜色的点用?_2的连接方式。

ans减去求出的最大流即为答案。

标准建图

Code

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<algorithm>

#include<cmath>

#include<cstring>

#include<queue>

using namespace std;

void Freopen() {freopen("cal.in","r",stdin); freopen("cal.out","w",stdout);}

void Fclose() {fclose(stdin); fclose(stdout);}

int read()

{

    int x=,f=; char ch=getchar();

    while (ch<'' || ch>'') {if (ch=='-') f=-; ch=getchar();}

    while (ch>='' && ch<='') {x=x*+ch-''; ch=getchar();}

    return x*f;

}

#define MAXM 1000100

#define MAXN 100100

int N,M,cas,Cas;

char G[][];

struct EdgeNode{int next,to,cap;}edge[MAXM];

int head[MAXN],cnt=;

void AddEdge(int u,int v,int w) {cnt++; edge[cnt].next=head[u]; head[u]=cnt; edge[cnt].to=v; edge[cnt].cap=w;}

void InsertEdge(int u,int v,int w) {AddEdge(u,v,w); AddEdge(v,u,);}

int dis[MAXN],que[MAXN<<],cur[MAXN],S,T;

bool bfs()

{

    for (int i=S; i<=T; i++) dis[i]=-;

    que[]=S; dis[S]=; int he=,ta=;

    while (he<ta)

        {

            int now=que[he++];

            for (int i=head[now]; i; i=edge[i].next)

                if (edge[i].cap && dis[edge[i].to]==-)

                    dis[edge[i].to]=dis[now]+,que[ta++]=edge[i].to;

        }

    return dis[T]!=-;

}

int dfs(int loc,int low)

{

    if (loc==T) return low;

    int w,used=;

    for (int i=cur[loc]; i; i=edge[i].next)

        if (edge[i].cap && dis[edge[i].to]==dis[loc]+)

            {

                w=dfs(edge[i].to,min(low-used,edge[i].cap));

                edge[i].cap-=w; edge[i^].cap+=w;

                used+=w; if (edge[i].cap) cur[loc]=i;

                if (used==low) return low;

            }

    if (!used) dis[loc]=-;

    return used;

}

#define inf 0x7fffffff

int dinic()

{

    int tmp=;

    while (bfs())

        {

            for (int i=S; i<=T; i++) cur[i]=head[i];

            tmp+=dfs(S,inf);

        }

    return tmp;

}

bool OK(int x,int y) {return (x>= && x<=N)&&(y>= && y<=M);}

int Get(int x,int y)

{

    int re=;

    if (OK(x-,y) && G[x-][y]=='#') re++;

    if (OK(x+,y) && G[x+][y]=='#') re++;

    if (OK(x,y-) && G[x][y-]=='#') re++;

    if (OK(x,y+) && G[x][y+]=='#') re++;

    return re;

}

int id[][],ID,col[][];

void init() {cnt=; memset(head,,sizeof(head)); ID=;}

void BuildGraph()

{

    int Tot=;

    init();

    for (int i=; i<=N; i++)

        for (int j=; j<=M; j++)

            id[i][j]=++ID,col[i][j]=(i+j)&;

    S=; T=ID+;

    for (int i=; i<=N; i++)

        for (int j=; j<=M; j++)

            {

                if (G[i][j]=='#') Tot+=-Get(i,j);

                if (G[i][j]=='?') if (Get(i,j)<)  Tot+=-*Get(i,j);

            }

    for (int i=; i<=N; i++)

        for (int j=; j<=M; j++)

            if (G[i][j]=='?')

                if (col[i][j])

                    {

                        if (Get(i,j)<)

                            {

                                InsertEdge(S,id[i][j],-*Get(i,j));

                                if (OK(i-,j) && G[i-][j]=='?') InsertEdge(id[i][j],id[i-][j],);

                                if (OK(i+,j) && G[i+][j]=='?') InsertEdge(id[i][j],id[i+][j],);

                                if (OK(i,j-) && G[i][j-]=='?') InsertEdge(id[i][j],id[i][j-],);

                                if (OK(i,j+) && G[i][j+]=='?') InsertEdge(id[i][j],id[i][j+],);

                            }

                    }

                else

                    if (Get(i,j)<) InsertEdge(id[i][j],T,-*Get(i,j));

    int MaxFlow=dinic();

    printf("Case #%d: %d\n",Cas-cas,Tot-MaxFlow);

}

int main()

{

    Freopen();

    Cas=cas=read();

    while (cas--)

        {

            N=read(),M=read();

            for (int i=; i<=N; i++)

                for (int j=; j<=M; j++)

                    cin>>G[i][j];

            BuildGraph();

        }

    Fclose();

    return ;

}

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