代码敲累了?来玩欧式几何

前言

前置知识:无。

本文基于Euclidea

一个画图网站(大雾

这确实是一个尺规作图的网站,但不仅能够作图,更多是对几何的探索和思考。

在阅读之前,您需要学会熟练运用基本作图工具。在单元alpha和beta有对各个工具的详细说明。

Part 1 规则说明

可直接跳过(

代码敲累了?来玩欧式几何

这是第一关的界面。

左上角为目标图形,即需要作出的图形。左上角的四个按钮分别是主菜单,上一关,下一关,重新来过。

右上角分别是撤销和恢复,分别对应Ctrl+z和Ctrl+shift+z。

中间为给定的初始图形。下方为可用的工具。

我们使用圆规和直尺作出等边三角形。
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第一个星指正确作出图形,第二颗星指在规定次数内作图,第三个星指在规定消耗内作图。

规定次数和消耗如何计算,左下角Help内有详细阐述。

这一关并没有完成,我们发现可以同时作出第二个等边三角形。

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这样我们就可以获得第四颗星。

运用技巧和智慧,拿下所有的星!

练习1. Alpha 2. Beta

Part 2 方法

例题1.6:求作一个圆的圆心。

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简单我会,做两条弦的中垂线,交点即为圆心。

可惜这个方法只能拿到一颗星,因为它消耗了6E,而限制是5E。

考虑优化这个方法,要作圆心,至少要画两条弦的中垂线。

单独画一条弦的中垂线,至少要花3E。

但是如果两条弦有一个公共端点,则可以共用一个圆,这样就可以是少花1E的代价。

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Part 3 进阶

相比与几何求解和几何证明,尺规作图更注重的是感性分析(huaji

一下介绍三个常用的路线。

1.直接推导

例题2.8:过圆上一点做圆的切线。

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定理切线与过切点的半径垂直。于是我们作出半径,然后直接做出半径的垂线即可。

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2.逆向推导

例题3.4:不好文字描述直接看图。。。

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我们要使得\(DM=ME\),则需要确定D点作出圆\(M\)。如果\(BD=DM\),则\(D\)在\(BM\)的中垂线上。所以我们先作出\(BM\)中垂线,再作出圆\(M\)即可。

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3.猜测结论

这是个很常用的技巧,不论是几何中还是OI中。

例题9.5:已知一条线段和一条与之平行的直线,仅用直尺求做线段的中点。

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这个难度跨度可能有点大,不过看来看去还是这道题比较适合做例题。

我们发现没有可连的线段,所以需要自己造出一个点。

在平面上任选一个点,连接该点与线段的两个端点。如果该点在线段与直线之间,则构成一个X形。否则构成一个A形。

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貌似看不出什么,我们把与直线的两个交点叠到一起去。

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可能有点东西,我们猜测X形的交点和A形的顶点的连线是大三角形的中线。事实证明确实是中线,所以这道题便解出来了。

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可以用相似或平行线分线段成比例证明,具体证明不再赘述,毕竟尺规作图才是关键(大雾

Part 4 精选例题

例题8.2:三等分\(54\)°角

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众所周知三等分任意角是无法尺规作图的。但三等分特殊角是可以的。

我们观察为什么选择\(54\)°。\(54\)°\(/3=18\)°,\(54\)°\(-18\)°\(=36\)°,\(36\)°\(+54\)°\(=90\)°。

所以我们先作出一个直角,再作出\(54\)°的余角,用\(54\)°减去它的余角即是它的三等分角

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例题9.6:不好文字描述直接看图

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延续9.5的思想(上面讲了),先构造一个A形和X形

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显然蓝线是中线,所以我们再在X形的中点作一条平行线便是所求。

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例题9.2: 不好文字描述直接看图

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看到比例我们首先想到相似和平行线。两项中都有\(AB\),所以我们以\(AB\)为半径作圆,再过点\(B\)作平行线。很巧妙的转换,图如下。图中红点为圆上任意一点。

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结语

以上都只是平面几何的冰山一角,更多内容有待大家继续探索。

有关关卡内容大家可以在下方评论或私信。

菜鸡常年拿不到三星,求助大佬/kk

最后再发一下Link

不知道该不该放这的Answer

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