说明
本文给出杨辉三角的几种C语言实现，并简要分析典型方法的复杂度。
本文假定读者具备二项式定理、排列组合、求和等方面的数学知识。
一 基本概念
杨辉三角，又称贾宪三角、帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。此处引用*上的一张动态图以直观说明(原文链接http://zh.wikipedia.org/wiki/杨辉三角)：
从上图可看出杨辉三角的几个显著特征：
1. 每行数值左右对称，且均为正整数。
2. 行数递增时，列数亦递增。
3. 除斜边上的1外，其余数值均等于其肩部两数之和。
杨辉三角与二项式定理有密切关系，即杨辉三角的第n行(n=0…MAX_ROW)对应二项式(a+b)n展开(Binomial Expansion)的系数集合。例如，第二行的数值1-2-1为幂指数为2的二项式(a+b)2展开形式a2
+ 2ab + b2的系数，即
。
应用组合公式可推导出杨辉三角的特征1和3，如下：
二 题目要求
用C语言编程打印出MAX_ROW行杨辉三角数，如(MAX_ROW=5)：
|
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 …… …… …… …… |
并分析程序所用的加法和乘法次数，比较其复杂度。
三 算法实现
因整型数值输出位宽限制，本节实现中将杨辉三角行数限制为10。该限制并不影响算法实现的完整性和表达性。
3.1 基本算法
直接利用特征3求解杨辉值，即第i行的第j个数等于第i-1行的第j-1个数与第j个数之和，用二维数组形式表达即为a[i][j] = a[i-1][j-1] + a[i-1][j]。
算法实现如下：
1 void BasicYangHui(void) 2 { 3 int dwRow = 0, dwCol = 0, aTriVal[MAX_ROW][MAX_COL] = {{0}}; 4 5 for(dwRow = 0; dwRow < MAX_ROW; dwRow++) 6 { 7 aTriVal[dwRow][0] = aTriVal[dwRow][dwRow] = 1; //若为i行0或i列，则i行j列杨辉值为1 8 } 9 10 for(dwRow = 2; dwRow < MAX_ROW; dwRow++) 11 { 12 for(dwCol = 1; dwCol < dwRow; dwCol++) //否则，i行j列杨辉值为i-1行中第j-1列与第j列值之和 13 aTriVal[dwRow][dwCol] = aTriVal[dwRow-1][dwCol-1] + aTriVal[dwRow-1][dwCol]; 14 } 15 16 //输出杨辉三角值 17 for(dwRow = 0; dwRow < MAX_ROW; dwRow++) 18 { 19 for(dwCol = 0; dwCol <= dwRow; dwCol++) 20 { 21 printf("%5d", aTriVal[dwRow][dwCol]); 22 } 23 printf("\n"); 24 } 25 }
上述程序还可优化，利用对称性折半赋值以使加法计算减半。
1 void BasicYangHui2(void) 2 { 3 int dwRow = 0, dwCol = 0, aTriVal[MAX_ROW][MAX_COL] = {{0}}; 4 5 for(dwRow = 0; dwRow < MAX_ROW; dwRow++) 6 { 7 aTriVal[dwRow][0] = aTriVal[dwRow][dwRow] = 1; //若为i行0或i列，则i行j列杨辉值为1 8 } 9 10 for(dwRow = 2; dwRow < MAX_ROW; dwRow++) 11 { 12 for(dwCol = 1; dwCol <= dwRow/2; dwCol++) 13 aTriVal[dwRow][dwCol] = aTriVal[dwRow-1][dwCol-1] + aTriVal[dwRow-1][dwCol]; 14 for(dwCol = dwRow-1; dwCol > dwRow/2; dwCol--) //此处必须取大于号，才能保证正确对折 15 aTriVal[dwRow][dwCol] = aTriVal[dwRow][dwRow-dwCol]; 16 } 17 18 //输出杨辉三角值 19 for(dwRow = 0; dwRow < MAX_ROW; dwRow++) 20 { 21 for(dwCol = 0; dwCol <= dwRow; dwCol++) 22 { 23 printf("%5d", aTriVal[dwRow][dwCol]); 24 } 25 printf("\n"); 26 } 27 }
注意，BasicYangHui和BasicYangHui2均先计算杨辉值后统一打印输出。也可边计算边输出：
1 void BasicYangHui3(void) 2 { 3 int dwRow = 0, dwCol = 0, aTriVal[MAX_ROW][MAX_COL] = {{0}}; 4 5 for(dwRow = 0; dwRow < MAX_ROW; dwRow++) 6 { 7 for(dwCol = 0; dwCol <= dwRow; dwCol++) 8 { 9 if((0 == dwCol) || (dwRow == dwCol)) 10 aTriVal[dwRow][dwCol] = 1; 11 else 12 aTriVal[dwRow][dwCol] = aTriVal[dwRow-1][dwCol-1] + aTriVal[dwRow-1][dwCol]; 13 14 printf("%5d", aTriVal[dwRow][dwCol]); 15 } 16 printf("\n"); 17 } 18 }
3.2 递归算法
利用特征3所对应的组合恒等式，可方便地写出杨辉三角的递归算法。
1 //求杨辉三角中第i行第j列的值 2 int CalcTriVal(int dwRow, int dwCol) 3 { 4 if((0 == dwCol) || (dwRow == dwCol)) 5 return 1; 6 else 7 return CalcTriVal(dwRow-1, dwCol-1) + CalcTriVal(dwRow-1, dwCol); 8 } 9 10 void RecursiveYangHui(void) 11 { 12 int dwRow = 0, dwCol = 0; 13 14 for(dwRow = 0; dwRow < MAX_ROW; dwRow++) 15 { 16 for(dwCol = 0; dwCol <= dwRow; dwCol++) 17 { 18 printf("%5d", CalcTriVal(dwRow, dwCol)); 19 } 20 printf("\n"); 21 } 22 }
3.3 迭代算法
通过组合公式推导，可得等效的迭代表达dwTriVal = dwTriVal * (dwRow-dwCol) / (dwCol+1)。
相应的算法实现如下：
1 void BinomialYangHui(void) 2 { 3 int dwRow = 0, dwCol = 0, dwTriVal; 4 5 for(dwRow = 0; dwRow < MAX_ROW; dwRow++) 6 { //首列直接输出1，否则由二项式系数递推公式求出杨辉值 7 dwTriVal = 1; 8 for(dwCol = 0; dwCol <= dwRow; dwCol++) 9 { 10 printf("%5d",dwTriVal); 11 dwTriVal = dwTriVal * (dwRow-dwCol) / (dwCol+1); 12 } 13 printf("\n"); 14 } 15 }
3.4 覆盖算法
本节将用一维数组代替二维数组，并结合对称性(“折半”)，使加法次数和存储空间减半。其示意图如下所示：
图中红色数字为折半边界，同列数字对应一维数组的同一存储位置。数组顺序存储单行杨辉值，只计算边界以左的杨辉值，每次计算后用新行值覆盖前行值。为便于说明，将前行col列值记为a[col]，新行col列值记为a’[col]，注意a[col]和a’[col]实际上对应同一存储位置。
可见，计算奇数行(行数从0开始)首列边界处的杨辉值a’[col]时，可将a[col]与a[col-1]值相加后赋值给a’[col]；计算偶数行首列边界处的杨辉值a’[col]时，因a[col]位于折半边界以右(其值为0)，需将a[col-1]赋予a[col]再与a[col-1]值相加后赋值给a’[col]。自边界处向左依次计算至第1列(0列直接置1)，然后正向输出存储的杨辉值(对应边界以左值)，再反向输出所存值(对应边界以右值)。继续以上步骤处理下一行。
考虑到偶数行相对前行边界右移一位，故数组空间大小定义为(MAX_ROW+1)/2。
算法实现如下。注意，计算row行数据时，数组预存的是row-1行数据。
1 void EfficientYangHui(void) 2 { 3 int dwRow = 0, dwCol = 0, aTriVal[(MAX_ROW+1)/2] = {1}; 4 printf("%5d\n", aTriVal[0]); //先输出首行杨辉值，以便后面各行可采用统一的算法 5 6 for(dwRow = 1; dwRow < MAX_ROW; dwRow++) 7 { 8 if(0 == (dwRow % 2)) //偶数行折半处为元素自加，如1-3-0-0为1+3、3+3(而非3+0) 9 aTriVal[dwRow/2] = aTriVal[dwRow/2-1]; 10 for(dwCol = dwRow/2; dwCol >= 1; dwCol--) 11 { 12 aTriVal[dwCol] = aTriVal[dwCol] + aTriVal[dwCol-1]; 13 } 14 aTriVal[0] = 1; //首列置1 15 16 for(dwCol = 0; dwCol <= dwRow/2; dwCol++) 17 { 18 printf("%5d", aTriVal[dwCol]); //并输出aTriVal[dwCol]作为前半行杨辉值 19 } 20 for(dwCol = (dwRow-1)/2; dwCol >= 0; dwCol--) 21 { 22 printf("%5d", aTriVal[dwCol]); //反向输出aTriVal[dwCol]，构成后半行杨辉值 23 } 24 printf("\n"); 25 } 26 }
以下给出另一种覆盖算法。该算法未使用折半处理，但使用临时变量暂存待覆盖的右肩值(即示意图中前行同列值)，并从首列开始从左至右计算并覆盖。
1 void EfficientYangHui2(void) 2 { 3 int dwRow = 0, dwCol = 0, dwLeft = 0, dwRight = 0; 4 int aTriVal[MAX_ROW+1] = {1}; 5 6 for(dwRow = 0; dwRow < MAX_ROW; dwRow++) 7 { 8 dwLeft = 0; 9 for(dwCol = 0; dwCol <= dwRow; dwCol++) 10 { 11 dwRight = aTriVal[dwCol]; 12 aTriVal[dwCol] = dwLeft + dwRight; 13 dwLeft = dwRight; 14 printf("%5d", aTriVal[dwCol]); 15 } 16 printf("\n"); 17 } 18 }
四 复杂度分析
不同于传统定义的时间复杂度计算，本节将时间复杂度等同于循环体内杨辉值加减乘除运算的次数，即侧重运算效率。基于相应的算法思想，可方便地改编为符合传统时间复杂度期望的实现。
此外，本节将空间复杂度等同于存储杨辉值的数组大小。因代码中已加以体现，此处不再分析。
将杨辉三角总行数记为N(亦即MAX_ROW)，本节计算BasicYangHui、RecursiveYangHui和BinomialYangHui三种典型算法的时间复杂度。计算主要用到以下公式：
4.1 BasicYangHui复杂度
主要计算BasicYangHui函数内层循环中加法运算(13行)的执行次数。
可知，每行杨辉值需要执行dwRow - 1次加法运算。通过求和公式推导总的加法次数为
4.2 RecursiveYangHui复杂度
递归算法的时间复杂度计算稍微复杂，以下借助二项式定理进行推导。
对于(a+b)n，其展开式第r项的系数满足：。
由此结合递归算法，可得：
以此类推，将各个杨辉值对应的计算次数写成如下形式：
|
0 0 0 0 1 0 0 2 2 0 0 3 5 3 0 0 4 9 9 4 0 0 5 14 19 14 5 0 …… …… …… …… |
可看出所形成的新三角相当于杨辉三角每个元素减1而成。
根据二项式系数和公式，可知每行元素和(加法次数)为
求和得总的加法次数为
可见RecursiveYangHui中采用递归调用算法时间复杂度很高。递归代码在紧凑易懂的同时，牺牲了执行速度(实际上因为大量使用堆栈内存也牺牲了空间)。
4.3 BinomialYangHui复杂度
主要计算BinomialYangHui函数内层循环中dwTriVal * (dwRow-dwCol) / (dwCol+1)句的运算次数。将其计为一次乘法、一次减法和一次除法(加1运算不计)，共三次运算。
可知，每行杨辉值需要执行(dwRow + 1) * 3次运算。通过求和公式推导总的运算次数为
五 总结
对比BasicYangHui、RecursiveYangHui和BinomialYangHui三种算法的复杂度可知：
- ?时间复杂度：BasicYangHui最低，RecursiveYangHui最高(达到指数级)；
- ?空间复杂度：BinomialYangHui最低，BasicYangHui较高。RecursiveYangHui因消耗大量栈空间故复杂度也较高。
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