剑指Offer - 九度1348 - 数组中的逆序对
2014-01-30 23:19
- 题目描述：
- 在数组中的两个数字，如果前面一个数字大于后面的数字，则这两个数字组成一个逆序对。输入一个数组，求出这个数组中的逆序对的总数。
- 输入：
-
每个测试案例包括两行：
第一行包含一个整数n，表示数组中的元素个数。其中1 <= n <= 10^5。
第二行包含n个整数，每个数组均为int类型。
- 输出：
- 对应每个测试案例，输出一个整数，表示数组中的逆序对的总数。
- 样例输入：
-
4
7 5 6 4
- 样例输出：
-
5
题意分析：
这一题的任务是求出一个数组的逆序数，也就是只通过交换相邻元素的方式，将这个数组排成升序的最少交换次数。定义可参见百度百科：逆序数。
按照冒泡或者选择排序的方法，能很直观地求出逆序数，因为执行的操作就是交换相邻元素。但问题也很明显，效率太低无法满足时间要求。
快速排序、堆排序、归并排序应该都能对应地找出算逆序数的方法，而且时间上有优势。三者中归并排序的写法和分析方法明显比另外两者要简单，于是我选择了归并排序。
归并排序的思路很简单：
1. 排序前一半
2. 排序后一半
3. 合并两个已排序的子数组
对于a[i]~a[j]和a[j+1]~a[k]这么两段儿，如果两段都已经排好了序，且存在左半段的某个a[x]>右半段的某个a[y]的话，那么a[x]、a[x+ 1]、...、a[j]必然都大于a[y]。
按上面那种算法，一次就多了j-x+1个逆序数。这么一来，就不用一个一个地算了。要是真一个一个地算逆序数，时间复杂度必然是O(n^2)了，因为逆序数本身就是O(n^2)数量级的。
最后，别忘了用64位整数来存结果，因为10^5个数，逆序数最多可以是5*10^左右，超出了int的范围。
时间复杂度O(n * log(n))，空间复杂度O(n)。
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#include <cstdio>
using namespace std;
const int MAXN = ;
int a[MAXN];
int n;
long long int res;
int tmp[MAXN];
void merge_sort_recursive(int a[], int ll, int rr)
{
if (ll >= rr) {
return;
}
int mm;
mm = (ll + rr) / ;
merge_sort_recursive(a, ll, mm);
merge_sort_recursive(a, mm + , rr);
int i, j, k;
i = ll;
j = mm + ;
k = ll;
while (true) {
if (i <= mm) {
if (j <= rr) {
if (a[i] <= a[j]) {
tmp[k++] = a[i++];
} else {
tmp[k++] = a[j++];
res += mm - i + ;
}
} else {
tmp[k++] = a[i++];
}
} else {
if (j <= rr) {
tmp[k++] = a[j++];
} else {
break;
}
}
}
for (i = ll; i <= rr; ++i) {
a[i] = tmp[i];
}
}
int main()
{
int i;
while (scanf("%d", &n) == ) {
for (i = ; i < n; ++i) {
scanf("%d", &a[i]);
}
res = ;
merge_sort_recursive(a, , n - );
printf("%lld\n", res);
}
return ;
}