104. Little shop of flowers
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问题：
你想要将你的花窗安排得最具美感。有F束花，每一束花都不一样，至少有F个按顺序排成一行的花瓶。花瓶从左到右，依次编号1-V。而花放置的位置是可以改变的，花依次编号1到F。花的序号有一个特征，即是序号决定了花束出现在花瓶里的顺序。例如，有两束花编号i和j，满足i<j，那么i所在的花瓶一定要在j所在花瓶的左边，即是i所在花瓶序号小于j的。每一束花都只能且必须插在一个花瓶中，一个花瓶只能插一朵花，如果花瓶的个数大于花束的个数，那么将会出现空的花瓶。
每个花瓶都有一个严格的特征值。某一束花放置在某一个花瓶中有一个确定的美学价值，用整数表示。空花瓶的美学价值为1。如下表所示。
|
V A S E S |
||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
||
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Bunches |
1 (azaleas) |
7 |
23 |
-5 |
-24 |
16 |
|
2 (begonias) |
5 |
21 |
-4 |
10 |
23 |
|
|
3 (carnations) |
-21 |
5 |
-4 |
-20 |
20 |
|
根据上表，例如，杜鹃花放在花瓶2中具有最大的美学价值，放在花瓶4中美学价值最低。为了使花店的美学价值最大，你需要计算出按照花的顺序将花放置在花瓶中后的最大美学价值。如果可以产生最大美学价值的放置方式不只一种，那么任何一种都是可以的，你只需要设计出一种可以了。
假设：
- 1 ≤ F ≤ 100 ，F是花的数量，依次编号1到F
- F ≤ V ≤ 100 ，V 是花瓶的数量。
- -50 £ Aij £ 50 ，Aij是将花束i放置在花瓶j的美学价值。
输入：
- 第一行包含两个值，F和V。
- 接下来的F 行，每一行包含V个整数，因此Aij的值就是输入文件中第i+1行的第j个数字。
输出
- 第一行包含按照你的方案计算出的美学价值。
第二行包含F个整数，第k个数代表放置第k束花的花瓶的编号。
示例输入：
3 5
7 23 -5 -24 16
5 21 -4 10 23
-21 5 -4 -20 20
示例输出
53
2 4 5
来源： <http://acm.sgu.ru/problem.php?contest=0&problem=104>
题解：
因为花瓶放置必须按照顺序，就是说放第i个花瓶的位置一定与之前i-1个花瓶的状态有关，所以就想到了动态规划。
所有的花都必须放置在花瓶中，所以考虑第i束花应从第i个花瓶开始。状态转移方程即是 dp[i][j] = max(dp[i-1][j-1]+a[i][j],dp[i][j-1]) ，前者代表第i束花放在第j个花瓶中，后者代表将第j个花瓶空置。
路径的记录。使用二维数组 tag[N][N]，将更新的位置置为1，将空置的位置置为0。那么从后往前遍历找到最后更新的值的位置就是花放置的位置。
以下是代码：
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <string>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std; #define ss(x) scanf("%d",&x)
#define ff(i,st,ed) for(int i=st;i<ed;i++)
#define fe(i,st,ed) for(int i=st;i<=ed;i++)
#define s64(x) scanf("%I64d",&x)
#define print(x) printf("%d\n",x)
#define write() freopen("1.in","r",stdin)
typedef long long LL; const int N = 105;
const int INF = 10000000;
int a[N][N];
int dp[N][N],tag[N][N];
int F,V;
void init(){
ss(F);ss(V);
fe(i,1,F)fe(j,1,V)
ss(a[i][j]);
ff(i,0,N)ff(j,0,N){
dp[i][j]=-INF;
tag[i][j]=0;
}
}
void solve(){
fe(i,0,F)
fe(j,i,V){ //第二层循环从i开始
if(dp[i-1][j-1]+a[i][j]>dp[i][j-1]){
tag[i][j]=1;
dp[i][j]= dp[i-1][j-1]+a[i][j];
}else dp[i][j]=dp[i][j-1]; //状态转移方程
}
print(dp[F][V]);
int k = F,path[N];
//从后往前遍历，寻找最后更新位置
for(int i = V;i>=1;i--)
if(tag[k][i] && k >=1)path[k--]=i;
fe(i,1,F)printf("%d ", path[i]);//输出
}
int main(){
//write();
init();
solve();
}