problem
solution
逆概率公式，即贝叶斯(Bayes)公式：
假设
B
1
,
B
2
,
.
.
.
,
B
n
B_1,B_2,...,B_n
B1,B2,...,Bn 是
Ω
\Omega
Ω 的一个分割，
P
(
A
)
>
0
P(A)>0
P(A)>0，则有
P
(
B
k
∣
A
)
=
P
(
A
B
k
)
P
(
A
)
=
P
(
B
k
)
P
(
A
∣
B
k
)
∑
i
=
1
n
P
(
B
i
)
P
(
A
∣
B
i
)
P(B_k|A)=\frac{P(AB_k)}{P(A)}=\frac{P(B_k)P(A|B_k)}{\sum_{i=1}^nP(B_i)P(A|B_i)}
P(Bk∣A)=P(A)P(ABk)=∑i=1nP(Bi)P(A∣Bi)P(Bk)P(A∣Bk)
如果我们把事件
A
A
A 看做结果，把诸事件
B
1
,
B
2
.
.
.
B_1,B_2...
B1,B2... 看做导致这个结果的可能的原因。
则可以形象地把全概率公式看做成为 由原因推结果。
而贝叶斯公式是 由结果推原因：现在有一个结果A 已经发生，在众多可能的 原因 中，求这些 原因 导致了 结果A 的概率分别是多少，概率最大那个 原因 就最可能导致 结果A。
∑
m
=
0
n
C
n
−
m
i
C
m
j
=
C
n
+
1
i
+
j
+
1
\sum_{m=0}^nC_{n-m}^iC_{m}^j=C_{n+1}^{i+j+1}
m=0∑nCn−miCmj=Cn+1i+j+1
证明：
相当于有 n + 1 n+1 n+1 个球，编号从 0 ∼ n 0\sim n 0∼n
枚举编号为 m m m 的球必选，然后编号小于 m m m 的球选 j j j 个，编号大于 m m m 的球选 i i i 个
一共就是从 n + 1 n+1 n+1 个中选 i + j + 1 i+j+1 i+j+1 个球的方案数
因为不管从哪个位置开始划分，要求前后选的个数都是固定的
一个数列中不可能有两个位置满足前后个数都一样
所以一定是不重的
对于本题，把选了 p p p 个球其中有 q q q 个是红球看作结果 A A A，把原先一共有 k k k 个红球看作原因 B k B_k Bk。
每一个原因的产生概率都是相同的，即 P ( B k ) = 1 n + 1 P(B_k)=\frac{1}{n+1} P(Bk)=n+11。
在某个原因下导致结果的概率，因为小球概率一样可用组合数计算，即 P ( A ∣ B k ) = C k q C n − k p − q C n p P(A|B_k)=\frac{C_k^qC_{n-k}^{p-q}}{C_n^p} P(A∣Bk)=CnpCkqCn−kp−q
先求某一种原因导致最后结果的概率：
P
(
B
k
∣
A
)
=
P
(
B
k
)
P
(
A
∣
B
k
)
∑
i
=
0
n
P
(
B
i
)
P
(
A
∣
B
i
)
=
1
n
+
1
C
k
q
C
n
−
k
p
−
q
C
n
p
∑
i
=
0
n
1
n
+
1
C
i
q
C
n
−
i
p
−
q
C
n
p
=
C
k
q
C
n
−
k
p
−
q
C
n
+
1
p
+
1
P(B_k|A)=\frac{P(B_k)P(A|B_k)}{\sum_{i=0}^nP(B_i)P(A|B_i)}=\frac{\frac{1}{n+1}\frac{C_k^qC_{n-k}^{p-q}}{C_n^p}}{\sum_{i=0}^n\frac{1}{n+1}\frac{C_i^qC_{n-i}^{p-q}}{C_n^p}}=\frac{C_k^qC_{n-k}^{p-q}}{C_{n+1}^{p+1}}
P(Bk∣A)=∑i=0nP(Bi)P(A∣Bi)P(Bk)P(A∣Bk)=∑i=0nn+11CnpCiqCn−ip−qn+11CnpCkqCn−kp−q=Cn+1p+1CkqCn−kp−q
最后的答案是求和每种原因导致结果后再抽一个红球的概率。
a
n
s
=
∑
k
=
0
n
P
(
B
k
∣
A
)
⋅
k
−
q
n
−
p
=
∑
k
=
0
n
C
k
q
C
n
−
k
p
−
q
C
n
+
1
p
+
1
⋅
k
−
q
n
−
p
=
∑
k
=
0
n
C
k
q
(
k
−
q
)
C
n
−
k
p
−
q
C
n
+
1
p
+
1
(
n
−
p
)
ans=\sum_{k=0}^nP(B_k|A)·\frac{k-q}{n-p}=\sum_{k=0}^n\frac{C_k^qC_{n-k}^{p-q}}{C_{n+1}^{p+1}}·\frac{k-q}{n-p}=\frac{\sum_{k=0}^nC_{k}^{q}(k-q)C_{n-k}^{p-q}}{C_{n+1}^{p+1}(n-p)}
ans=k=0∑nP(Bk∣A)⋅n−pk−q=k=0∑nCn+1p+1CkqCn−kp−q⋅n−pk−q=Cn+1p+1(n−p)∑k=0nCkq(k−q)Cn−kp−q
C k q ( k − q ) = k ! q ! ( k − q ! ) ( k − q ) = k ! ( k − q − 1 ) ! q ! = k ! ( k − q − 1 ) ! ( q + 1 ) ! ( q + 1 ) = C k q + 1 ( q + 1 ) C_{k}^{q}(k-q)=\frac{k!}{q!(k-q!)}(k-q)=\frac{k!}{(k-q-1)!q!}=\frac{k!}{(k-q-1)!(q+1)!}(q+1)=C_{k}^{q+1}(q+1) Ckq(k−q)=q!(k−q!)k!(k−q)=(k−q−1)!q!k!=(k−q−1)!(q+1)!k!(q+1)=Ckq+1(q+1)
a n s = ∑ k = 0 n C k q + 1 ( q + 1 ) C n − k p − q C n + 1 p + 1 ( n − p ) = ( q + 1 ) C n + 1 p + 2 ( n − p ) C n + 1 p + 1 = ( q + 1 ) ( n + 1 ) ! ( p + 2 ) ! ( n − p − 1 ) ! ( n − p ) ( n + 1 ) ! ( p + 1 ) ! ( n − p ) ! = q + 1 p + 2 ans=\frac{\sum_{k=0}^nC_{k}^{q+1}(q+1)C_{n-k}^{p-q}}{C_{n+1}^{p+1}(n-p)}=\frac{(q+1)C_{n+1}^{p+2}}{(n-p)C_{n+1}^{p+1}}=\frac{(q+1)\frac{(n+1)!}{(p+2)!(n-p-1)!}}{(n-p)\frac{(n+1)!}{(p+1)!(n-p)!}}=\frac{q+1}{p+2} ans=Cn+1p+1(n−p)∑k=0nCkq+1(q+1)Cn−kp−q=(n−p)Cn+1p+1(q+1)Cn+1p+2=(n−p)(p+1)!(n−p)!(n+1)!(q+1)(p+2)!(n−p−1)!(n+1)!=p+2q+1
code
因代码过于简单，所以就不放了