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当有多组数据要比较时，不管是ANOVA，还是非参的Kruskal-Wallis检验等等，都只能看出整体的几组之间有没有差异。要是有，那么差异在哪里呢？还要做个两两比较才知道。OK，两两比较又要怎么做？有的小伙伴自然而然地会想到，每两组之间做一个T检验不就好了。To naive！这是个吃力不讨好的活，用这样的方式打开T检验会增加I型错误的风险。

 

I型错误，又称拒真错误，因为光看到P<0.05我就以为两组有差别，但这个P值是有bug的，这两组实际上没差别。你问这P值怎么了？！这就遇到了多重检验问题（multiple comparison problem）。

 

我们选择P值以0.05为界，来鉴定两组是否有差异，但那是两组！两组！当组数比较多时，这里就有了一个坑，叫族错误率（Family-wise Error Rate, FWER，又称Experiment-wise significant level），即一族（多重）检验做下来，犯I型错误的概率。每个检验中犯I型错误的概率用α表示，也就是显著性水平，就是我们紧盯着的0.05——每个检验里，我们只允许自己有5%的机会犯I型错误。

 

但要是做了k次检验，整个实验出现I型错误的概率就会积累：一个检验犯错误的概率是α，不犯错误的概率就是1-α；于是2个检验都不犯错误的概率就是(1-α)×(1-α)，k个检验都不犯错误的概率就是(1-α)^k，最后k个检验会犯错误的概率就是1-(1-α)^k。即：

比如我们的实验有4个组，那么两两比较就要做的次数就是：C(4, 2)=4×3/2×1=6次。把k=6代入公式FWER=1-(1-0.05)^6≈0.26，也就是说，这一溜检验下来，如果每个检验都给5%的机会去犯I型错误，那最后整个实验犯I型错误的概率就积累到了26%！

 

所以为了控制好最后整个实验犯I型错误的概率，就要对每个两两比较的P值做校正，我们不能再纵容自己有5%的概率犯I型错误，这个容忍度要更小。

 

事后检验（post-hoc test）就是得知各组间有差异之后，用来寻找具体差异在哪的一系列方法，其中就有一些校正P值的方法。常用的有Bonferroni法和Dunn- Sidák法。

 

这是最常用也是简单粗暴的方法。做了k个比较，那就直接用0.05/k来生成一个新的P值（记作P’）。4组数据做6次两两检验，用则P’=0.05/6≈0.0083。就是说，如果A组和B组比较的P值为0.032>P’，应该认为这两组之间没有统计学差异；B组和C组比较的P值为0.006

 

比Bonferroni精致一些。做了k个两两比较，那么：

咦，是不是和FWER那个有点像？其实就是从它倒推过来的啊~.~4组数据做6次比较，那么P’值应该设在1-(1-0.05)^1/6≈0.0087。

 

所以如果你非要选择T检验（正态、方差齐）或Mann-Whitney U检验（非参）等来做两两比较，那么还要选用以上两种方法之一去校正P值，来判断组间是否有差异。

 

不过，也并不是所有的事后检验法都要对多重比较做校正，比如Fisher最小显著差异法（Fisher least significant difference test，Fisher LSD）。它可以说是T检验的延伸，不同的是，T检验时用到的标准差只考虑正在比较的两个组，而Fisher LSD要考虑所有样本的标准差，所以它才敢这么任性，比直接用T检验稍微准确一些。但由于不作校正，它又比较宽松。

 

在SPSS里面，“分析→比较均值→单因素方差分析→事后比较”的对话框里就有LSD，它下面赫然便是Bonferroni和Sidak。

如果在这里选择Bonferroni或Sidak，下边的显著性水平填0.05是没问题的，可以用它来做判断。因为此处是用相应的方法校正过的，不信你用T检验比较一下其中2组数据，再跟Bonferroni或Sidak计算结果中相应的2组对比一下就知道了。

 

显然，前两种方法都相对较保守，因为要求的P值太小太严格，当我判断一个检验结果没有差异的时候，实际上它可能是有差异的，这就是II型错误，又称受伪错误。但像LSD这样任性的，的确比较敏感，更容易发现差异，可是又容易犯I型错误。到底要闹哪样？

 

其实如何选择是没有金标准，看具体实验中，犯哪种错误后果比较严重。当然也得看杂志和审稿人的要求，听说有小伙伴不做校正会被打回来要求做个Bonferroni，这时如果校正过后导致数据解读方向扭转，怕是文章得重写。有一种观点认为，当比较次数在10次（即5组数据）以内时，用Bonferroni比较好；比较次数较多时，对I型错误也可以稍稍宽容。