算法思想：

动态规划，用时484ms

class Solution {  
public:  
     string longestPalindrome(string s) {  
        
        int n = s.length();  
        
        bool dp[1000][1000];  
 
        int start = 0;  
        int max = 1;  
        
        for (int j = 0; j < n; ++j)  
        {  
            for (int i = 0; i <= j; ++i)  
            {  
                if (( j-i<= 1 || dp[i+1][j-1]) && s[i] == s[j])  
                {  
                    dp[i][j] = true;  
 
                    if (j-i+1 > max)  
                    {  
                        start = i;  
                        max = j-i+1;  
                    }  
                }  
                else dp[i][j] = false;  
                  
            }  
        }  
          
        return s.substr(start,max);  
    }  
};  

2、网上有人贴出了中心向外拓展的方法，也不错，用时140ms，思路挺简单，只是对奇偶个回文串需要注意

class Solution {  
public:  
     string longestPalindrome(string s) {  
         
        size_t n = s.length();  
        int startPos = 0;  
        int max = 1;  
        for (int i = 0; i < n; ++i)  
        {  
            int oddLen = 0, evenLen = 0, curLen;  
            oddLen = Palindromic(s,i,i);  
              
            if (i + 1 < n)  
               evenLen = Palindromic(s,i,i+1);  
              
            curLen = oddLen > evenLen? oddLen : evenLen;  
              
            if (curLen > max)  
            {  
                max = curLen;  
                if (max & 0x1)  
                  startPos = i - max / 2;  
                else   
                  startPos = i - (max - 1) / 2;  
            }  
        }  
          
        return s.substr(startPos,max);  
    }  
      
    int Palindromic(const string &str, int i, int j)  
    {  
        size_t n = str.length();  
        int curLen = 0;  
  
        while (i >= 0 && j < n && str[i] == str[j])  
        {  
            --i;  
            ++j;  
        }  
        curLen = (j-1) - (i+1) + 1;  
  
        return curLen;  
    }  
};  

我将java版的改成c++版的并优化了下，算法是可以的，但是还是TLE

class Solution {  
    int *nextval;
public:  
    void get_nextval(char const* ptrn, int plen, int* nextval)        
    {        
        int i = 0;         
        nextval[i] = -1;        
        int j = -1;        
        while( i < plen-1 )        
        {        
            if( j == -1 || ptrn[i] == ptrn[j] )       
            {        
                ++i;        
                ++j;        
                       
                if( ptrn[i] != ptrn[j] )         
                    nextval[i] = j;              
                else        
                    nextval[i] = nextval[j];        
            }        
            else                                         
                j = nextval[j];        
        }        
    }    
    int KMP(const char *S, const char *T) {    
            
        int slen = strlen(S);    
        int tlen = strlen(T);    
        int i = 0 ,j = 0;    
        int maxLen=0;
        //int *nextval=new int[tlen];    
        get_nextval(T,tlen,nextval);    
            
        while ( i+j < slen && j < tlen){    
            if ( j == -1 || S[i+j] == T[j] ){    
                j ++;    
            }    
            else    
            {    
                i ++;    
                j = nextval[j];    
            }    
            if( j > maxLen)  
            {  
                maxLen = j;  
            }  
            if(j == tlen)  
            {  
                return maxLen;  
            }  
        }    
        return maxLen;   
    } 
     string longestPalindrome(string s) {  
        
        string str=s;
        const char *S=str.c_str();
        int size=s.length();
        
        reverse(s.begin(),s.end());  //求得到 输入string 的reverse  
        
        nextval = new int[1000];  
          
        int start = 0;  
        int maxLen = 0;  
        int len;  
        
        for(int i = 0; i < size; i++) //枚举所有后缀  
        {    
            if( size - i < maxLen)  
            {  
                break;  
            }  

            len = KMP(S, &s[i]);  
            if( len > maxLen)  
            {  
                start = i; 
                maxLen = len;  
            }  
              
        }  
        return s.substr(start,maxLen);  
    }  
};  

思路4. 算法来源于此

http://www.leetcode.com/2011/11/longest-palindromic-substring-part-ii.html

不过原文的陈述仔细研究了一下，有一些地方让人着实费解，所以自己决定重写一遍。

这里描述了一个叫Manacher’s Algorithm的算法。

算法首先将输入字符串S， 转换成一个特殊字符串T，转换的原则就是将S的开头结尾以及每两个相邻的字符之间加入一个特殊的字符，例如#

例如: S = “abaaba”, T = “#a#b#a#a#b#a#”.

为了找到最长的回文字串，例如我们当前考虑以Ti为回文串中间的元素，如果要找到最长回文字串，我们要从当前的Ti扩展使得 T_i-d … T_i+d 组成最长回文字串. 这里 d 其实和 以Ti为中心的回文串长度是一样的. 进一步解释就是说，因为我们这里插入了 # 符号，对于一个长度为偶数的回文串，他应该是以#做为中心的，然后向两边扩，对于长度是奇数的回文串，它应该是以一个普通字符作为中心的。通过使用#，我们将无论是奇数还是偶数的回文串，都变成了一个以Ti为中心，d为半径两个方向扩展的问题。并且d就是回文串的长度。

例如 #a#b#a#, P = 0103010, 对于b而言P的值是3，是最左边的#，也是延伸的最左边。这个值和当前的回文串是一致的。

如果我们求出所有的P值，那么显然我们要的回文串，就是以最大P值为中心的回文串。

T = # a # b # a # a # b # a #
P = 0 1 0 3 0 1 6 1 0 3 0 1 0

例如上面的例子，最长回文是 “abaaba”, P₆ = 6.

根据观察发现，如果我们在一个位置例如 abaaba的中间位置，用一个竖线分开，两侧的P值是对称的。当然这个性质不是在任何时候都会成立，接下来就是分析如何利用这个性质，使得我们可以少算很多P的值。

下面的例子 S = “babcbabcbaccba” 存在更多的折叠回文字串。

C表示当前的回文中心，L和R处的线表示以C为中心可以到达的最左和最右位置，如果知道这些，我们如何可以更好的计算C后面的P[i]. 

假设我们当前计算的是 i = 13, 根据对称性，我们知道对称的那个下标 i‘ = 9. 

根据C对称的原则，我们很容易得到如下数据 P[ 12 ] = P[ 10 ] = 0, P[ 13 ] = P[ 9 ] = 1, P[ 14 ] = P[ 8 ] = 0).

Now we are at index i = 15, and its mirrored index around C is i’ = 7. Is P[ 15 ] = P[ 7 ] = 7?

当时当i = 15的时候，却只能得到回文 “a#b#c#b#a”, 长度是5， 而对称 i ‘ = 7 的长度是7. 

如上图所示，如果以 i, i‘ 为中心，画出对称的区域如图，其中以i‘ = 7 对称的区域是 实心绿色 + 虚绿色 和 左侧，虚绿色表示当前的对称长度已经超过之前的对称中心C。而之前的P对称性质成立的原因是 i 右侧剩余的长度 R - i 正好比 以 i‘ 为中心的回文小。 

扩充P[i] 之后，我们还要做一件事情是更新 R 和 C， 如果当前对称中心的最右延伸大于R，我们就更新C和R。在迭代的过程中，我们试探i的时候，如果P[i‘] <= R - i, 那么只要做一件事情。 如果不成立我们对当前P[i] 做扩展，因为最大长度是n，扩展最多就做n次，所以最多做2*n。 所以最后算法复杂度是 O(n)

LeetCode OJ:Longest Palindromic Substring