偏微分方程的数值解法
主要总结常见椭圆形、双曲型、抛物型偏微分方程的数值解法
椭圆偏微分方程
拉普拉斯方程是最简单的椭圆微分方程
\[\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0
\]
? 确定偏微分方程的边界条件主要采用固定边界条件： \(u|_\Gamma = U_1(x, y)\) 即在边界\(\Gamma\)?上给定\(u\)的值\(U_1(x, y)\)
五点差分格式
五点差分格式的形式为：
\[u_{i +1, j} + u_{i - 1, j} + u_{i, j + 1} + u_{i, j - 1} = 4u_{i, j}
\]
以\(u_{i, j}\)?为中心向其上下左右做差分，并用这些近似的代替\(u_{i, j}\)
运用五点差分法可以求出下列边值问题
\[\begin{cases}
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0\\
u(x_1, y) = g_1(x), u(x_2, y) = g_2(x)\u(x, y_1) = f_1(y), u(x, y_2) = f_2(y)\x_1 \le x \le x_2, y_1 \le y \le y_2\\end{cases}
\]
求解过程如下：
- 对求解区域进行分割：将\(x_{min} \le x \le x_{max}\)范围内的的\(x\)轴等分成\(NX\)段， 同理将\(y\)轴等分成\(NY\)段
- 将边界条件离散到格点上
- 用五点差分格式建立求解方程，求出各个格点的函数值
程序设计：
实现函数格式为u = peEllip5(nx, minx, maxx, ny, miny, maxy)
| 变量名 | 变量作用 |
|---|---|
nx |
x方向上的节点数 |
minx |
求解区间x的左端 |
maxx |
求解区间x的右端 |
ny |
y方向的节点数 |
miny |
求解区间y的左端 |
maxy |
求解区间y的右端 |
u |
求解区间上的数值解 |
建立边界条件函数
``