Logistic Regression
一、内容概要
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Classification and Representation
- Classification
- Hypothesis Representation
- Decision Boundary
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Logistic Regression Model
- 损失函数（cost function）
- 简化损失函数和梯度下降算法
- Advanced Optimization（高级优化方法）
-
Solving the problem of Overfitting
- 什么是过拟合？
- 正则化损失函数（cost function）
- 正则化线性回归（Regularized Linear Regression）
- 正则化逻辑回归（Regularized Logistic Regression）
二、重点&难点
1. Classification and Representation
1） Hypothesis Representation
这里需要使用到sigmoid函数--g(z)：
\[\begin{equation}
h_θ(x) = g(θ^Tx)
\end{equation}
\]
\[\begin{equation}
z = θ^Tx
\end{equation}
\]
\[\begin{equation}
g(z) = \frac{1}{1+e^{-z}}
\end{equation}
\]
2) Decision Boundary
决策边界：
\[h_θ(x) ≥ 0.5 → y=1 \]
\[h_θ(x) < 0.5 → y=0 \]
等价于
\[g(z) ≥ 0.5 → y=1 \]
\[g(z) < 0.5 → y=0 \]
等价于
\[z ≥0 → y=1 \]
\[z < 0 → y=0 \]
2. Logistic Regression Model
1） 逻辑回归的损失函数
这里之所以再次提到损失函数，是因为线性回归中的损失函数会使得输出呈现起伏，造成许多局部最优值，也就是说线性回归中的cost function在运用到逻辑回归时，将可能不再是凸函数。
逻辑回归的cost function如下：
\[J_θ = \frac{1}{m} \sum {Cost}( h_θ(x^{(i)}, y^{(i)} ) )\]
\[ {Cost}(h_θ(x), y) ) = - log(h_θ(x)) \quad \quad if \quad y=1\]
\[ {Cost}(h_θ(x), y) ) = - log(1 - h_θ(x)) \quad if \quad y=0\]
结合图来理解：
- y=1
由上图可知，y=1，hθ(x)是预测值，
- 当其值为1时，表示预测正确，损失函数为0；
- 当其值为0时，表示错的一塌糊涂，需要大大的惩罚，所以损失函数趋近于∞。
- y=0
上图同理
2) Simplified Cost Function and Gradient Descent
- 损失函数
cost function
\[Cost(h_θ(x), y) = -ylog(h_θ(x)) - (1-y)log(1-h_θ(x))\]
Jθ
\[J_θ=-\frac{1}{m} \sum Cost(h_θ(x), y) \]
\[\quad =-\frac{1}{m} \sum [-y^{i}log(h_θ(x^{(i)})) - (1-y^i)log(1-h_θ(x^{(i)}))] \]
- 梯度函数
3）高级优化方法
如图左边显示的是优化方法，其中后三种是更加高级的算法，其优缺点由图邮编所示：
优点
- 不需要手动选择α
- 比梯度下降更快
缺点
- 更加复杂
后面三种方法只需了解即可，老师建议如果你不是专业的数学专家，没必要自己使用这些方法。。。。。。当然了解一下原理也是好的。
3. Solving the problem of Overfitting
1) 过拟合
主要说一下过拟合的解决办法：
1）减少特征数量
- 手动选择一些需要保留的特征
- 使用模型选择算法（model selection algorithm）
2）正则化 - 保留所有特征，但是参数θ的数量级（大小）要减小
- 当我们有很多特征，而且这些特征对于预测多多少少会由影响，此时正则化怎能起到很大的作用。
2） 正则化损失函数
图示右边很明显是过拟合，因此为了纠正加入了正则化项：1000·θ32，为了使得J(θ)最小化，所以算法会使得θ3趋近于0，θ4也趋近于0。
正则化损失函数表达式：
\[J(θ)=\frac{1}{2m} [\sum_{i=1}^m( h_θ(x^{(i)}) - y^{(i)})^2 + λ\sum_{j=1}^n θ_j^2]\]
\[min_θ [\frac{1}{2m} (\sum_{i=1}^m( h_θ(x^{(i)}) - y^{(i)})^2 + λ\sum_{j=1}^n θ_j^2)]\]
3) 正则化线性回归
- 正则化梯度下降：
\[J(θ)=\frac{1}{2m} [\sum_{i=1}^m( h_θ(x^{(i)}) - y^{(i)})^2 + λ\sum_{j=1}^n θ_j^2]\]
\[\frac{∂J_θ}{∂θ_j} = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m( h_θ(x^{(i)} ) - y^{(i)} )x_j^{(i)} + \frac{λ}{m}θ_j \]
Repeat{
\[θ_0 := θ_0 - α\frac{1}{m}\sum_{i=1}{m}( h_θ(x^{(i)} ) - y^{(i)} )x_0^{(i)}\]
\[θ_j := θ_j - α[(\frac{1}{m}\sum_{i=1}{m}( h_θ(x^{(i)} ) - y^{(i)} )x_0^{(i)} ) + \frac{λ}{m}θ_j ] \quad j∈\{1,2,3……n\}\]
}
- 正则化正规方程
前面提到过，若m< n,那么XTX是不可逆的，但是加上λ·L后则变为可逆的了。
4) 正则化逻辑回归
\[J(θ)=-\frac{1}{m} \{\sum_{i=1}^m[ y^{(i)} log(h_θ(x^{(i)}))+(1-y^{(i)})log(1-h_θ(x^{(i)}))]\} + \frac{λ}{2m}\sum_{j=1}^n θ_j^2\]
梯度下降过程