椭圆曲线加解密及签名算法的技术原理及其Go语言实现

椭圆曲线加解密算法原理

建立基于椭圆曲线的加密机制，需要找到类似RSA质因子分解或其他求离散对数这样的难题。
而椭圆曲线上的已知G和xG求x，是非常困难的，此即为椭圆曲线上的的离散对数问题。
此处x即为私钥，xG即为公钥。

椭圆曲线加密算法原理如下：

设私钥、公钥分别为k、K，即K = kG，其中G为G点。

公钥加密：
选择随机数r，将消息M生成密文C，该密文是一个点对，即：
C = {rG, M+rK}，其中K为公钥

私钥解密：
M + rK - k(rG) = M + r(kG) - k(rG) = M
其中k、K分别为私钥、公钥。

椭圆曲线签名算法原理

椭圆曲线签名算法，即ECDSA。

设私钥、公钥分别为k、K，即K = kG，其中G为G点。

私钥签名：

• 1、选择随机数r，计算点rG(x, y)。
• 2、根据随机数r、消息M的哈希h、私钥k，计算s = (h + kx)/r。
• 3、将消息M、和签名{rG, s}发给接收方。

公钥验证签名：

• 1、接收方收到消息M、以及签名{rG=(x,y), s}。
• 2、根据消息求哈希h。
• 3、使用发送方公钥K计算：hG/s + xK/s，并与rG比较，如相等即验签成功。

原理如下：
hG/s + xK/s = hG/s + x(kG)/s = (h+xk)G/s
= r(h+xk)G / (h+kx) = rG

Go语言中椭圆曲线的实现

椭圆曲线的接口定义：

type Curve interface {
    //获取椭圆曲线参数
    Params() *CurveParams
    //是否在曲线上
    IsOnCurve(x, y *big.Int) bool
    //加法
    Add(x1, y1, x2, y2 *big.Int) (x, y *big.Int)
    //二倍运算
    Double(x1, y1 *big.Int) (x, y *big.Int)
    //k*(Bx,By)
    ScalarMult(x1, y1 *big.Int, k []byte) (x, y *big.Int)
    //k*G, G为基点
    ScalarBaseMult(k []byte) (x, y *big.Int)
}
//代码位置src/crypto/elliptic/elliptic.go

椭圆曲线的接口实现：

type CurveParams struct {
    //有限域GF(p)中质数p
    P       *big.Int
    //G点的阶
    //如果存在最小正整数n，使得nG=O∞，则n为G点的阶
    N       *big.Int
    //椭圆曲线方程y²= x³-3x+b中常数b
    B       *big.Int
    //G点(x,y)
    Gx, Gy  *big.Int
    //密钥长度
    BitSize int
    //椭圆曲线名称
    Name    string
}

func (curve *CurveParams) Params() *CurveParams {
    //获取椭圆曲线参数，即curve，代码略
}

func (curve *CurveParams) IsOnCurve(x, y *big.Int) bool {
    //是否在曲线y²=x³-3x+b上，代码略
}

func (curve *CurveParams) Add(x1, y1, x2, y2 *big.Int) (*big.Int, *big.Int) {
    //加法运算，代码略
}

func (curve *CurveParams) Double(x1, y1 *big.Int) (*big.Int, *big.Int) {
    //二倍运算，代码略
}

func (curve *CurveParams) ScalarMult(Bx, By *big.Int, k []byte) (*big.Int, *big.Int) {
    //k*(Bx,By)，代码略
}

func (curve *CurveParams) ScalarBaseMult(k []byte) (*big.Int, *big.Int) {
    //k*G, G为基点，代码略
}
//代码位置src/crypto/elliptic/elliptic.go

Go语言中椭圆曲线签名的实现

Go标准库中实现的椭圆曲线签名原理，与上述理论中基本接近。
相关证明方法已注释在代码中。

//公钥
type PublicKey struct {
    elliptic.Curve
    X, Y *big.Int
}

//私钥
type PrivateKey struct {
    PublicKey //嵌入公钥
    D *big.Int //私钥
}

func Sign(rand io.Reader, priv *PrivateKey, hash []byte) (r, s *big.Int, err error) {
    entropylen := (priv.Curve.Params().BitSize + 7) / 16
    if entropylen > 32 {
        entropylen = 32
    }
    entropy := make([]byte, entropylen)
    _, err = io.ReadFull(rand, entropy)
    if err != nil {
        return
    }

    md := sha512.New()
    md.Write(priv.D.Bytes()) //私钥
    md.Write(entropy)
    md.Write(hash)
    key := md.Sum(nil)[:32]

    block, err := aes.NewCipher(key)
    if err != nil {
        return nil, nil, err
    }

    csprng := cipher.StreamReader{
        R: zeroReader,
        S: cipher.NewCTR(block, []byte(aesIV)),
    }

    c := priv.PublicKey.Curve //椭圆曲线
    N := c.Params().N //G点的阶
    if N.Sign() == 0 {
        return nil, nil, errZeroParam
    }
    var k, kInv *big.Int
    for {
        for {
            //取随机数k
            k, err = randFieldElement(c, csprng)
            if err != nil {
                r = nil
                return
            }

            //求k在有限域GF(P)的逆，即1/k
            if in, ok := priv.Curve.(invertible); ok {
                kInv = in.Inverse(k)
            } else {
                kInv = fermatInverse(k, N) // N != 0
            }

            //求r = kG
            r, _ = priv.Curve.ScalarBaseMult(k.Bytes())
            r.Mod(r, N)
            if r.Sign() != 0 {
                break
            }
        }

        e := hashToInt(hash, c) //e即哈希
        s = new(big.Int).Mul(priv.D, r) //Dr，即DkG
        s.Add(s, e) //e+DkG
        s.Mul(s, kInv) //(e+DkG)/k
        s.Mod(s, N) // N != 0
        if s.Sign() != 0 {
            break
        }
        
        //签名为{r, s}，即{kG, (e+DkG)/k}
    }

    return
}

//验证签名
func Verify(pub *PublicKey, hash []byte, r, s *big.Int) bool {
    c := pub.Curve //椭圆曲线
    N := c.Params().N //G点的阶

    if r.Sign() <= 0 || s.Sign() <= 0 {
        return false
    }
    if r.Cmp(N) >= 0 || s.Cmp(N) >= 0 {
        return false
    }
    e := hashToInt(hash, c) //e即哈希

    var w *big.Int
    //求s在有限域GF(P)的逆，即1/s
    if in, ok := c.(invertible); ok {
        w = in.Inverse(s)
    } else {
        w = new(big.Int).ModInverse(s, N)
    }

    u1 := e.Mul(e, w) //即e/s
    u1.Mod(u1, N)
    u2 := w.Mul(r, w) //即r/s
    u2.Mod(u2, N)

    var x, y *big.Int
    if opt, ok := c.(combinedMult); ok {
        x, y = opt.CombinedMult(pub.X, pub.Y, u1.Bytes(), u2.Bytes())
    } else {
        x1, y1 := c.ScalarBaseMult(u1.Bytes()) //即eG/s
        x2, y2 := c.ScalarMult(pub.X, pub.Y, u2.Bytes()) //即DGr/s
        //即eG/s + DGr/s = (e + Dr)G/s
        //= (e + Dr)kG / (e + DkG) = (e + Dr)r / (e + Dr) = r
        x, y = c.Add(x1, y1, x2, y2) 
    }

    if x.Sign() == 0 && y.Sign() == 0 {
        return false
    }
    x.Mod(x, N)
    return x.Cmp(r) == 0
}
//代码位置src/crypto/ecdsa/ecdsa.go

后记

椭圆曲线数字签名算法，因其高安全性，目前已广泛应用在比特币、以太坊、超级账本等区块链项目中。

感谢关注兄弟连区块链教程分享！