如果原问题可分割成k个子问题，1<k≤n ，且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。

分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：

1) 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决

2) 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。

3) 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；

4) 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。

上述的第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑用贪心算法或动态规划法。第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。

贪心算法：

动态规划法：

一：快速排序

(1) 原理 : 划定基准，一分为二，

从数列中挑出一个元素，称为 "基准";（一般选第一个数或者中间的数，或者随机选数）
重新排序数列，所有元素比基准值小的摆放在基准前面，所有元素比基准值大的摆在基准的后面（相同的数可以到任一边）。在这个分区退出之后，该基准就处于数列的中间位置。这个称为分区操作；
递归地把小于基准值元素的子数列和大于基准值元素的子数列排序；
本质上来看，快速排序应该算是在冒泡排序基础上的递归分治法。

（2）代码实现

void quick_sort(int s[], int l, int r)
{
    if (l < r)
    {
        //Swap(s[l], s[(l + r) / 2]); //将中间的这个数和第一个数交换 参见注1
        int i = l, j = r, x = s[l];
        while (i < j)
        {
            while(i < j && s[j] >= x) // 从右向左找第一个小于x的数
                j--;  
            if(i < j) 
                s[i++] = s[j];
            
            while(i < j && s[i] < x) // 从左向右找第一个大于等于x的数
                i++;  
            if(i < j) 
                s[j--] = s[i];
        }
        s[i] = x;
        quick_sort(s, l, i - 1); // 递归调用 
        quick_sort(s, i + 1, r);
    }
}

特点观察：与选择排序类似，每一轮排序会将基准数置于正确位置

二：归并排序

(1) 原理

2. 算法步骤

申请空间，使其大小为两个已经排序序列之和，该空间用来存放合并后的序列；
设定两个指针，最初位置分别为两个已经排序序列的起始位置；
比较两个指针所指向的元素，选择相对小的元素放入到合并空间，并移动指针到下一位置；
重复步骤 3 直到某一指针达到序列尾；
将另一序列剩下的所有元素直接复制到合并序列尾。
优点在于始终都是 O(nlogn) 的时间复杂度。代价是需要额外的内存空间。

(2) 代码实现

int min(int x, int y) {
    return x < y ? x : y;
}
void merge_sort(int arr[], int len) {
    int *a = arr;
    int *b = (int *) malloc(len * sizeof(int));
    int seg, start;
    for (seg = 1; seg < len; seg += seg) {
        for (start = 0; start < len; start += seg * 2) {
            int low = start, mid = min(start + seg, len), high = min(start + seg * 2, len);
            int k = low;
            int start1 = low, end1 = mid;
            int start2 = mid, end2 = high;
            while (start1 < end1 && start2 < end2)
                b[k++] = a[start1] < a[start2] ? a[start1++] : a[start2++];
            while (start1 < end1)
                b[k++] = a[start1++];
            while (start2 < end2)
                b[k++] = a[start2++];
        }
        int *temp = a;
        a = b;
        b = temp;
    }
    if (a != arr) {
        int i;
        for (i = 0; i < len; i++)
            b[i] = a[i];
        b = a;
    }
    free(b);
}

三.总结与比较

快速排序的最坏运行情况是 O(n²)，比如说顺序数列的快排。但它的平摊期望时间是 O(nlogn)，且 O(nlogn) 记号中隐含的常数因子很小，比复杂度稳定等于 O(nlogn) 的归并排序要小很多。所以，对绝大多数顺序性较弱的随机数列而言，快速排序总是优于归并排序。

----《算法艺术与信息学竞赛》

快速排序应该算是在冒泡排序基础上的递归分治法。

冒泡排序也涉及对元素的移动，但是那样移动起来很累，比如把最后一个元素移动到第 1 个，就需要比较 n-1 次，同时交换 n-1 次，效率很低。其实，只需把第 1 个元素和最后一个元素交换就好了，这种思想是不是在排序时可以借鉴呢？之前说快速排序就是对冒泡排序的一个改进，就是这个原因。

快速排序基本上被认为是相同数量级的所有排序算法中，平均性能最好的。

码农公寓

前言：分治法