网友 思维机器 在 反相吧 发了一个 帖 《数学问题,连接两个点的曲线旋转所成曲面中,面积最小的曲线是什么?》 https://tieba.baidu.com/p/7543575658 。
回复 10 楼, 简单的情况, A B 点 的 y 坐标相同, 那么, 最小面积 解 出现在 AB 线段(一字型) 和 轴为 x 轴 的 工字形 之间, 也就是 线段 AB 和 折线 ACDB 之间 。
AB 间 距离 记为 AB, AC 长度 记为 R, EC 长度 记为 r, AB > 0 , R > 0 , R > r , r >= 0 。 可以证明, 只要满足 AB > R - r , 折线 AEFB 的 旋转面积 总可以 小于 线段 AB 的 旋转面积 。 也就是说, 无论 AB 间 的 距离 多小, 总是 可以有 折线 AEFB 旋转的面积 比 线段 AB 旋转 的 面积小 。
还可以 证明, 当 r = R - AB / 2 时, 折线 AEFB 的 旋转面积 取 极值点(极小值), AEFB 旋转面积 最小 。
显然, 当 r > 0 时, E 在 AC 上 ; 当 r = 0 时 , E 和 C 重合, EF 和 CD 重合; 当 r < 0 时, E 在 AC 的 延长线 上, 这种情况 实际中 也就是 EF 和 CD 重合 , 此时 AEFB 旋转面积 虽然 不是 极小值, 但是是 最小值 。
第一个 证明 是一个 一元一次不等式, 第二个证明 是 二次函数 求 极值, 不等式 和 二次函数 都是 根据 AEFB 旋转面积 公式 列的, 过程 就不写上来了 。
以上说明, 在 AC 上 存在 一点 E, E 不和 A 重合, 使得 折线 AEFB 的 旋转面积 最小 。
这是 折线 的 最小解, 曲线 的 最小解 可能 比 折线 的 最小解 大 或 小 或 相等, 这个 是 不确定 的, 需要 数学 上 证明 。
但 从 折线 可以 看到 一些 趋势, 比如 曲线 的 最小解 也 可能 只有 一个 。