短时傅里叶变换原理及其MATLAB实现（Short Time Fourier Transform，STFT）

1.短时Fourier变换原理（STFT原理）

信号x(t)短时Fourier变换定义为：

其中w(τ)为窗函数。

X(ω,t)中的时间t表示窗函数w(τ−t)的位置，随着窗函数在整个区间上的滑动，可获得信号x(τ)在 t 附近区域上对应的频谱。

信号短时Fourier变换是一种常用的信号时频分析方法。

2.DFT中的STFT原理

信号x(t)的STFT是一个积分运算，在实际计算中也可通过DFT来实现，即

其中：窗函数w[k]的宽度为N，x[k]为连续信号x(t)的抽样。

若抽样频率为fs，则存在 t=kT, T=1/fs。

3.时间分辨率和频谱分辨率
（2）时间分辨率
时间分辨率由时窗宽度Tp决定，公式为

Tp越小，时间分辨率越高。

（2）频谱分辨率
频谱分辨率是指分辩信号中相邻谱峰的能力，公式为

∆fc越小，频谱分辨率越高。

4.不足
信号的STFT虽然能在一定程度上改善Fourier变换的不足，实现信号的时频分析，但其时间分辨率固定不变，因而不能有效地反映信号的突变程度，其应用受到局限。

小波分析拓展了信号STFT，实现了一种新的时频分析方法，其时窗可以随着信号的频率增高而缩小，频率降低而增大，有效地解决信号短时Fourier变换的缺陷，因而得到广泛应用。

5.Matlab代码实现

clear;
clc;

Fs=1e4;

t=0:1/Fs:4;
t1=0:1/Fs:1;

%10Hz的信号
x1=[sin(2*pi*10*t1)';zeros(Fs*3,1)]; 
%1000Hz的信号
x2=[zeros(Fs,1);sin(2*pi*1000*t1)';zeros(Fs*2,1)];
%2000Hz的信号
x3=[zeros(Fs*2,1);sin(2*pi*2000*t1)';zeros(Fs,1)];
%3000Hz的信号
x4=[zeros(Fs*3,1);sin(2*pi*3000*t1)'];
figure(1);
subplot(411);
plot(t,x1);
subplot(412);
plot(t,x2);
subplot(413);
plot(t,x3);
subplot(414);
plot(t,x4);

x=x1+x2+x3+x4;
figure(2);
subplot(211);
plot(t,x);
title('时域图');  
axis([0 4 -2 2]);

%FFT代码
X=fft(x);
N=length(x);
f=(1:N/2)*Fs/N;
subplot(212);
plot(f,abs(X(1:N/2)));
xlabel('f (Hz)');
ylabel('|X(f)|');
title('频谱图');  

%STFT关键代码
figure(3);
spectrogram(x,128,120,128,Fs,'yaxis');
title('时频图');