机敏问答[常微][1] #20210611

2023-12-12 14:49:52

机敏问答[常微][1] #20210611

本专栏主要作个人复习自测，有相关知识预备的同学也可作复习用。不保证无相应基础的人士能看明白。
万一考试考到了，或者对你的学习有较大帮助，一键三连不过分吧（斜眼笑）

解的含义、通解

  1. 针对 y = ϕ ( x , C 1 , C 2 ) = C 1 c o s x + C 2 s i n x y=\phi(x,C_1,C_2)=C_1 cosx+C_2 sinx y=ϕ(x,C1​,C2​)=C1​cosx+C2​sinx，计算雅可比行列式 D [ ϕ , ϕ ′ ] D [ C 1 , C 2 ] \frac{D[\phi,\phi']}{D[C_1,C_2]} D[C1​,C2​]D[ϕ,ϕ′]​
  2. 对于 F ( x , y , y ′ , y ′ ′ ) = 0 F(x,y,y',y'')=0 F(x,y,y′,y′′)=0和通解 y = ϕ ( x , A , B ) y=\phi(x,A,B) y=ϕ(x,A,B)，写出全导数 d F / d A dF/dA dF/dA的表达式，并据此推出矩阵 ( ∂ ϕ / ∂ A ∂ ϕ ′ / ∂ A ∂ ϕ ′ ′ / ∂ A ∂ ϕ / ∂ B ∂ ϕ ′ / ∂ B ∂ ϕ ′ ′ / ∂ B ) (\begin{matrix}\partial \phi/\partial A & \partial \phi'/\partial A &\partial \phi''/\partial A\\ \partial \phi/\partial B & \partial \phi'/\partial B& \partial \phi''/\partial B\end{matrix}) (∂ϕ/∂A∂ϕ/∂B​∂ϕ′/∂A∂ϕ′/∂B​∂ϕ′′/∂A∂ϕ′′/∂B​)
    的第三列在任意 x , A , B x,A,B x,A,B处，如果满足一定的非退化条件，则都可以被前两列线性表出。此处线性表出的系数一般情况下是恒定的吗？
  3. n n n阶微分方程的解 y = ϕ ( x , C 1 , ⋯   , C n ) y=\phi(x,C_1,\cdots,C_n) y=ϕ(x,C1​,⋯,Cn​)中 n n n个常数不独立的含义是什么为0？这个为0是恒为0吗？请举例说明你的判断。将你的判断和前一问作联系，提取出一定的相同之处。
  4. 平面 x O y xOy xOy上过一定点的所有圆构成的曲线族有几个*度？该曲线族至少是几阶微分方程的通解？
  5. 对于 ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = a 2 + b 2 (x-a)^2+(y-b)^2=a^2+b^2 (x−a)2+(y−b)2=a2+b2，把 y y y看成 x x x的函数，求一阶导后结果是什么？由前述两式能得到 a , b a,b a,b关于谁的表达式？把这个表达式代入什么式子可以得到不出现 a , b a,b a,b的几阶微分方程？
  6. 在 P : x = ξ , C 1 = c 1 , ⋯   , C n = c n P:x=\xi, C_1=c_1,\cdots,C_n=c_n P:x=ξ,C1​=c1​,⋯,Cn​=cn​邻域考察 F ( x , y , ⋯   , y ( n − 1 ) ) F(x,y,\cdots,y^{(n-1)}) F(x,y,⋯,y(n−1))的通解 y = ϕ ( x , C 1 , ⋯   , C n ) y=\phi(x,C_1,\cdots,C_n) y=ϕ(x,C1​,⋯,Cn​)。设 η k = ϕ ( k ) ( ξ , c 1 , ⋯   , c n ) \eta_k = \phi^{(k)}(\xi,c_1,\cdots,c_n) ηk​=ϕ(k)(ξ,c1​,⋯,cn​)， Q Q Q点表示 ( η 0 , ⋯   , η n − 1 ) (\eta_0,\cdots,\eta_{n-1}) (η0​,⋯,ηn−1​)。
    现在为了得到以在 Q Q Q点邻域中任取的某点作为初值的满足 F ( x , y , ⋯   , y ( n − 1 ) ) = 0 F(x,y,\cdots,y^{(n-1)})=0 F(x,y,⋯,y(n−1))=0的特解，使用反函数存在定理，我们对哪个行列式有什么要求？
  7. 反函数存在定理针对的是 n n n元 n n n维函数（即定义域和值域都是 R n \mathbb{R}^n Rn），为什么上一问中不是这样？
  8. 写出一个通解是 y = { − ( x − A ) 2 , − ∞ < x < A 0 , A ≤ x ≤ B ( x − B ) 2 , B < x < + ∞ y=\left\{\begin{matrix}-(x-A)^2,-\infty<x<A\\0,A\le x\le B\\(x-B)^2,B<x<+\infty\end{matrix}\right. y=⎩⎨⎧​−(x−A)2,−∞<x<A0,A≤x≤B(x−B)2,B<x<+∞​的一阶ODE，解释为什么一阶ODE出现了两个待定常数。
  9. 写出一个解集中包含所有 y = a r c t a n ( x + C ) y=arctan(x+C) y=arctan(x+C)的一阶ODE，并找出它的所有解。
  10. y = A x B , x > 0 , y > 0 y=Ax^B,x>0,y>0 y=AxB,x>0,y>0是什么二阶ODE的通解？
  11. 设 y = g ( x , C 1 , ⋯   , C n ) y=g(x,C_1,\cdots,C_n) y=g(x,C1​,⋯,Cn​)是一个充分光滑的函数族， x x x是自变量， C 1 , ⋯   , C n C_1,\cdots,C_n C1​,⋯,Cn​是 n n n个独立参数。独立参数的意思是什么？借此独立性，利用一个小区域内的反函数存在定理，可得到 C 0 , ⋯   , C n C_0,\cdots,C_n C0​,⋯,Cn​关于初值 y ( x 0 ) , ⋯   , y ( n − 1 ) ( x 0 ) y(x_0),\cdots,y^{(n-1)}(x_0) y(x0​),⋯,y(n−1)(x0​)具有以 x 0 x_0 x0​为参数的函数关系（用含参数的反函数组 c 1 , x 0 ( ⋅ ) , ⋯   , c n , x 0 ( ⋅ ) c_{1,x_0}(\cdot),\cdots,c_{n,x_0}(\cdot) c1,x0​​(⋅),⋯,cn,x0​​(⋅)表示），请解释”含参数的反函数组“，借此说明存在一个 n n n阶ODE，通解恰好是 g g g.

答案

  1. ϕ = C 1 c o s x + C 2 s i n x , ϕ ′ = − C 1 s i n x + C 2 c o s x , ∂ ϕ / ∂ C 1 = c o s x , ⋯ \phi = C_1 cosx+C_2 sinx,\phi'=-C_1sinx+C_2cosx,\partial \phi/\partial C_1=cosx,\cdots ϕ=C1​cosx+C2​sinx,ϕ′=−C1​sinx+C2​cosx,∂ϕ/∂C1​=cosx,⋯，容易计算得结果为1
  2. d F / d A = ∂ F ∂ y ∂ ϕ ∂ A + ∂ F ∂ y ′ ∂ ϕ ′ ∂ A + ∂ F ∂ y ′ ′ ∂ ϕ ′ ′ ∂ A dF/dA=\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial \phi}{\partial A}+\frac{\partial F}{\partial y'}\frac{\partial \phi'}{\partial A}+\frac{\partial F}{\partial y''}\frac{\partial \phi''}{\partial A} dF/dA=∂y∂F​∂A∂ϕ​+∂y′∂F​∂A∂ϕ′​+∂y′′∂F​∂A∂ϕ′′​，现不妨把上式中A换为B，再令前二式都为0，就得到待求线性表出关系。”非退化“意指 ∂ F ∂ y ′ ′ ≠ 0 \frac{\partial F}{\partial y''}\neq 0 ∂y′′∂F​​=0. 不是。
  3. 雅可比行列式 D [ ϕ , ⋯   , ϕ ( n − 1 ) ] D [ C 1 , ⋯   , C n ] \frac{D[\phi,\cdots,\phi^{(n-1)}]}{D[C_1,\cdots,C_n]} D[C1​,⋯,Cn​]D[ϕ,⋯,ϕ(n−1)]​. 是恒为0. 例如考察 y = s i n ( x + C ) y=sin(x+C) y=sin(x+C)是 y 2 + y ′ 2 = 1 y^2+y'^2=1 y2+y′2=1的通解，雅可比行列式 c o s ( x + C ) cos(x+C) cos(x+C)有时为0但不恒为0.
    联系前一问：参数不独立等价于雅可比行列式恒为0，或说雅可比矩阵最后一列恒能被前 n − 1 n-1 n−1列线性表出。这和1.中的 2 × 3 2\times 3 2×3矩阵最后一列恒能被前2列线性表出意义类似。
    注：雅可比矩阵最后一列恒能被前 n − 1 n-1 n−1列线性表出，但对于不同的 x , C 1 , ⋯ x,C_1,\cdots x,C1​,⋯，系数可以不同。这和1.也是类似的。这种不一致性并不影响”恒为0“的判断。（这要区分于行列式值与 x x x有关）
  4. 两个。二阶。
  5. 2 ( x − a ) + 2 ( y − b ) y ′ = 0 2(x-a)+2(y-b)y'=0 2(x−a)+2(y−b)y′=0. x , y , y ′ x,y,y' x,y,y′. 原式求二阶导得到的 2 − 2 b y ′ ′ + 2 y ′ 2 + 2 y y ′ ′ = 0 2 - 2by'' + 2y'^2+2yy''=0 2−2by′′+2y′2+2yy′′=0. 二阶。
  6. P P P点处的雅可比行列式 D [ ϕ , ⋯   , ϕ ( n − 1 ) ] D [ C 1 , ⋯   , C n ] ∣ x = ξ , C i = c i \frac{D[\phi,\cdots,\phi^{(n-1)}]}{D[C_1,\cdots,C_n]}|_{x=\xi,C_i=c_i} D[C1​,⋯,Cn​]D[ϕ,⋯,ϕ(n−1)]​∣x=ξ,Ci​=ci​​.
    注： P P P点一点处的雅可比行列式不为0可以推出其邻域的该行列式恒不为0
  7. 提示： x x x是”参数“。
  8. y ′ = 2 ∣ y ∣ y'=2\sqrt{|y|} y′=2∣y∣ ​（注意正负号问题，特别是 x − C 1 < 0 x-C_1<0 x−C1​<0）. 一阶ODE只能有一个独立的待定常数，而这里两个待定常数考察的甚至都不是一个区间，更没法求雅可比行列式，何谈是否独立。实际上这里的待定常数是由解的不唯一性和”奇解“导致的。
  9. y ′ = ( 1 + ( x + C ) 2 ) − 1 y'=(1+(x+C)^2)^{-1} y′=(1+(x+C)2)−1，代入 x + C = t a n y x+C=tany x+C=tany得到 y ′ = c o s 2 y y'=cos^2y y′=cos2y.
    找前述方程所有解：如果 c o s y = 0 cosy=0 cosy=0则 y = k π + π / 2 ( k ∈ Z ) y=k\pi + \pi/2(k\in \mathbb{Z}) y=kπ+π/2(k∈Z)，否则 d y / c o s 2 y = d x , t a n y = x + C , y = a r c t a n ( x + C ) + k π ( k ∈ Z ) dy/cos^2y=dx,tany=x+C,y=arctan(x+C)+k\pi(k\in \mathbb{Z}) dy/cos2y=dx,tany=x+C,y=arctan(x+C)+kπ(k∈Z)
  10. x y y ′ ′ = y ′ ( x y ′ − y ) x yy''=y'(xy'-y) xyy′′=y′(xy′−y)
  11. 略。

线素场

  1. 对于 d y / d x = P ( x , y ) / Q ( x , y ) dy/dx = P(x,y)/Q(x,y) dy/dx=P(x,y)/Q(x,y)， P ≠ 0 , Q = 0 P\neq 0,Q=0 P​=0,Q=0时如何作线素合理？如何用一个方程统一所有 P 2 + Q 2 > 0 P^2+Q^2>0 P2+Q2>0的情况？该方程不符合ODE原始定义的形式 F ( x , y , ⋯   , y ( n − 1 ) ) = 0 F(x,y,\cdots,y^{(n-1)})=0 F(x,y,⋯,y(n−1))=0，那它是什么意思呢？
  2. 线素场在 P = 0 , Q = 0 P=0,Q=0 P=0,Q=0（奇异点）处是否有意义？奇异点在奇异点集中一定孤立嘛？给出证明或反例。
  3. 利用线素场研究 y ′ = 1 + x y y'=1+xy y′=1+xy，说出解曲线（都指“尽量延伸”后的，下同）的增减性可能有几种情况。
  4. 利用线素场研究 y ′ = x 2 − y 2 y'=x^2-y^2 y′=x2−y2。标记 y ′ = 0 , y ′ > 0 , y ′ < 0 y'=0,y'>0,y'<0 y′=0,y′>0,y′<0对应区域。
  5. 在3.中记 y y y正半轴， x x x负半轴， y y y负半轴， x x x正半轴所在区域分别为 A , B , C , D A,B,C,D A,B,C,D.判断经过且仅经过以下区域的解曲线是否可能，并说明理由。 C D , A B C D CD,ABCD CD,ABCD
  6. 在3.中仅从 y ′ y' y′符号判断，经过 B C D BCD BCD和经过 B C BC BC的解曲线都是可能出现的。实际上它们确实可能出现。用比较定理说明 x = 0 , y = − 100 x=0,y=-100 x=0,y=−100的点对应的解曲线经过 B C BC BC，而 x = 0 , y = − 0.01 x=0,y=-0.01 x=0,y=−0.01的点对应的解曲线经过 B C D BCD BCD。用确界存在定理以此为基础给出一个优美的结论。

答案

  1. 垂直于 x x x轴。 Q d y − P d x = 0 Qdy-Pdx=0 Qdy−Pdx=0（“对称形式”）. 提示：在线素场竖直的点附近，满足另一个方程。
  2. 无意义。不一定。略。
  3. 3种。即先减后增，先增后减，增。
  4. 略。
  5. 不可能。 C D CD CD：注意 C C C区域，函数递减。 A B C D ABCD ABCD：经过 C C C则容易说明只可能是 B C D BCD BCD或 B C BC BC，不可能经过 A A A（证明要点是考察“越过边界”时的斜率）
  6. 对于 x = 0 , y = − 100 x=0,y=-100 x=0,y=−100，每次让 x x x变大1，在长度为1的区间上用比较定理，把 x x x和 y y y都放缩成定值，并归纳。
    对于 x = 0 , y = − 0.01 x=0,y=-0.01 x=0,y=−0.01，在 x ∈ [ 0 , 1 ] x\in[0,1] x∈[0,1]区间用比较定理比较 y ′ = − y 2 y'=-y^2 y′=−y2的同初值解即可说明解曲线与 C C C和 D D D的边界有交点。
    注意若 x = 0 , y = a < 0 x=0,y=a<0 x=0,y=a<0对应解曲线经过 B C BC BC，则更小的 y y y值也……（初值不同，平移后用比较定理）
    类似地对于 B C D BCD BCD……所以根据确界存在定理……

恰当方程和分离变量法

  1. 二阶偏导数在满足一定条件下可交换和”恰当方程“的判断有何联系？
  2. 利用分组凑全微分和公式法两种方法分别解 ( y e x + 2 e x + y 2 ) d x + ( e x + 2 x y ) d y (ye^x+2e^x+y^2)dx+(e^x+2xy)dy (yex+2ex+y2)dx+(ex+2xy)dy。在分组凑全微分时，没有”配对“的 2 e x 2e^x 2ex具有什么特点使得其可以不”配对“？
  3. 小心地求解 2 s − 1 t d s + s − s 2 t 2 d t = 0 \frac{2s-1}t ds+\frac{s-s^2} {t^2} dt=0 t2s−1​ds+t2s−s2​dt=0.
  4. 判断恰当方程时，非单连通区域可能带来什么问题？举例说明。
  5. 写出一个以 x = 0 x=0 x=0（严格来说，是 x = 0 , y ≠ 0 x=0,y\neq 0 x=0,y​=0，下同）为一个特解， y = 0 y=0 y=0为另一个特解，且原点是奇异点（无法定义线素场方向）的（对称形式的，下同）ODE.
  6. 再写出一个满足5.条件且存在一个非奇异点处解不唯一的ODE.
  7. 一维自治系统 y ′ = f ( y ) y'=f(y) y′=f(y)中 f ( y ) f(y) f(y)有唯一零点0，讨论 ∫ 0 1 d y f ( y ) \int_0^1 \frac{dy}{f(y)} ∫01​f(y)dy​的敛散性和系统导函数图像，一维相图，线素场，解唯一性的关系。
  8. 甲从原点出发沿 x x x轴正方向作速度为1的匀速直线运动，乙从 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)出发，运动方向始终指向甲且和甲保持距离恒定。写出乙轨迹曲线上 y ′ y' y′的表达式并求乙运动轨迹（可以表示成 x ( y ) x(y) x(y)形式）。
  9. 求出乙在任意时刻的速度。

答案

  1. 略。
  2. 略。提示： 2 e x d x = d ( 2 e x ) 2e^x dx=d(2e^x) 2exdx=d(2ex)，不涉及 y y y. （或者说 ∂ 2 e x ∂ y = 0 \frac{\partial 2e^x}{\partial y}=0 ∂y∂2ex​=0）
  3. 2 s − 1 s − s 2 d s + d t / t = 0 \frac{2s-1}{s-s^2}ds+dt/t=0 s−s22s−1​ds+dt/t=0（此处特解 s = 0 , t ≠ 0 s=0,t\neq 0 s=0,t​=0和 s = 1 , t ≠ 0 s=1,t\neq 0 s=1,t​=0），否则
    ( 1 / ( 1 − s ) − 1 / s ) d s + d t / t = d ( − l n ∣ s ( 1 − s ) ∣ + l n ∣ t ∣ ) = 0 (1/(1-s)-1/s)ds+dt/t=d(-ln|s(1-s)|+ln|t|)=0 (1/(1−s)−1/s)ds+dt/t=d(−ln∣s(1−s)∣+ln∣t∣)=0
    解得 t / s ( 1 − s ) = C , C ≠ 0 t/s(1-s)=C,C\neq 0 t/s(1−s)=C,C​=0（此时 t ≠ 0 , s ( 1 − s ) ≠ 0 t\neq 0,s(1-s)\neq 0 t​=0,s(1−s)​=0自然满足）
  4. 多值性。例如 y d x − x d y x 2 + y 2 = 0 , x 2 + y 2 > 0 \frac{ydx-xdy}{x^2+y^2}=0,x^2+y^2>0 x2+y2ydx−xdy​=0,x2+y2>0
  5. 如 y d x + x d y = 0 ydx+xdy=0 ydx+xdy=0
  6. 如 P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = 0 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0，其中 P ( x , y ) = { ∣ y ∣ , ∣ x ∣ > 2 略 （ 使 得 光 滑 连 接 ） , 1 ≤ ∣ x ∣ ≤ 2 y , ∣ x ∣ < 1 P(x,y)=\left\{\begin{matrix}\sqrt{|y|},|x|>2\\略（使得光滑连接）,1\le |x|\le 2\\ y, |x|<1 \end{matrix}\right. P(x,y)=⎩⎨⎧​∣y∣ ​,∣x∣>2略（使得光滑连接）,1≤∣x∣≤2y,∣x∣<1​ Q ( x , y ) = 略 Q(x,y)=略 Q(x,y)=略
  7. 略。特别注意导函数图像在 0 + 0_+ 0+​附近和 x x x轴不正交是解唯一的充分不必要条件。（思考：请举例）
  8. y ′ = − y / 1 − y 2 , x = 1 2 l n 1 + 1 − y 2 1 − 1 − y 2 − 1 − y 2 y'=-y/\sqrt{1-y^2},x=\frac 12 ln\frac{1+\sqrt{1-y^2}}{1-\sqrt{1-y^2}}-\sqrt{1-y^2} y′=−y/1−y2 ​,x=21​ln1−1−y2 ​1+1−y2 ​​−1−y2 ​
  9. t t t时刻，甲处于 ( t , 0 ) (t,0) (t,0)，乙处于 ( x ( y ) , y ) (x(y),y) (x(y),y)且 y ′ = − y / 1 − y 2 = − y / ( t − x ) y'=-y/\sqrt{1-y^2}=-y/(t-x) y′=−y/1−y2 ​=−y/(t−x)，得
    t = 1 2 l n ( ⋅ ) , y = 1 − ( e 2 t − 1 e 2 t + 1 ) 2 t=\frac 12 ln(\cdot),y=\sqrt{1-(\frac{e^{2t}-1}{e^{2t}+1})^2} t=21​ln(⋅),y=1−(e2t+1e2t−1​)2 ​
    v = ∣ 1 + y ′ − 2 d y d t ∣ = 略 v=|\sqrt{1+y'^{-2}} \frac{dy}{dt}|=略 v=∣1+y′−2 ​dtdy​∣=略

一阶线性ODE基础

  1. 直接说出 x ′ = a x x'=ax x′=ax的通解。直接说出 x ′ = b ( x − x f i n a l ) , b < 0 , x ( 0 ) = x i n i t x' = b(x-x_{final}),b<0,x(0)=x_{init} x′=b(x−xfinal​),b<0,x(0)=xinit​的解并说出物理意义。
  2. 直接说出 x ′ = x + c o s t x'=x+cost x′=x+cost保留变限积分的通解。
  3. 用欧拉公式和考察对称式两种方式求不定积分 ∫ e − t c o s t d t \int e^{-t} costdt ∫e−tcostdt
  4. 说出一阶线性ODE一般形式。
  5. 一句话概括积分因子法。
  6. 一句话概括常数变易法。背诵一阶线性ODE通解的公式，指出变易体现在哪里。

答案

  1. x = A e a t x=Ae^{at} x=Aeat（注意 A A A可以为任意实数）。 x = x f i n a l + ( x i n i t − x f i n a l ) e b t x=x_{final} + (x_{init}-x_{final}) e^{bt} x=xfinal​+(xinit​−xfinal​)ebt，“指数趋近”。
  2. x = ( C + ∫ t 0 t e − u c o s u d u ) e t x=(C+\int_{t_0}^t e^{-u} cosu du)e^t x=(C+∫t0​t​e−ucosudu)et。
  3. 欧拉公式： ∫ a b e − t c o s t d t = ∫ a b R e ( e ( − 1 + i ) t ) d t \int_a^b e^{-t} costdt = \int_a^b Re(e^{(-1+i)t})dt ∫ab​e−tcostdt=∫ab​Re(e(−1+i)t)dt， a , b a,b a,b为实数。设 L a b L_{ab} Lab​表示复平面上连接 a , b a,b a,b两点的线段，于是
    原 式 = R e ( ∫ L a b e ( − 1 + i ) z d z ) = R e ( e ( − 1 + i ) z − 1 + i ∣ a b ) = R e ( e ( − 1 + i ) b − e ( − 1 + i ) a − 1 + i ) = ( 令 a = 0 ) R e ( ( − 1 − i ) ( e − b c o s b − 1 + i e − b s i n b ) 2 ) = − e − b c o s b + 1 + e − b s i n b 2 原式=Re(\int_{L_{ab}}e^{(-1+i)z} dz)=Re(\frac{e^{(-1+i)z}}{-1+i}|^b_a)=Re(\frac{e^{(-1+i)b}-e^{(-1+i)a}}{-1+i})\\ =(令a=0)Re(\frac{(-1-i)(e^{-b}cosb-1+ie^{-b}sinb)}{2})=\frac{-e^{-b}cosb+1+e^{-b}sinb}2 原式=Re(∫Lab​​e(−1+i)zdz)=Re(−1+ie(−1+i)z​∣ab​)=Re(−1+ie(−1+i)b−e(−1+i)a​)=(令a=0)Re(2(−1−i)(e−bcosb−1+ie−bsinb)​)=2−e−bcosb+1+e−bsinb​
    则不定积分结果为 − c o s b + s i n b 2 e − b + C \frac{-cosb+sinb}2 e^{-b} +C 2−cosb+sinb​e−b+C
    考察对称式：分别对 e − t c o s t e^{-t}cost e−tcost和 e − t s i n t e^{-t}sint e−tsint求导，再解方程。
  4. y ′ + p ( x ) y = q ( x ) y'+p(x)y=q(x) y′+p(x)y=q(x)
  5. 两边同乘积分因子 e ∫ p d x e^{\int pdx} e∫pdx（严格来说是 e ∫ x 0 x p ( s ) d s e^{\int_{x_0}^x p(s)ds} e∫x0​x​p(s)ds）后左边变成全微分。
  6. 齐次（ q ( x ) = 0 q(x)=0 q(x)=0）通解 y = C e − ∫ p d x y=Ce^{-\int pdx} y=Ce−∫pdx中设 C = C ( x ) C=C(x) C=C(x)代回原方程解出 C ( x ) C(x) C(x).
    y = e − ∫ p d x ( C + ∫ q e ∫ p d x d x ) ( 使 用 “ 哑 元 ” 的 严 格 形 式 略 ) y=e^{-\int pdx}(C+\int qe^{\int pdx}dx)(使用“哑元”的严格形式略) y=e−∫pdx(C+∫qe∫pdxdx)(使用“哑元”的严格形式略)
    变易体现在括号内多了一项。
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