前几天氪了本《具体数学》，感觉开了个天坑qwq，现在已经看了一些了，里面一些很有意思的性质，稍微纪录一下吧。

以后争取每天能看一点，当然不一定是按顺序看。

第1章 递归问题

1.1河内塔

$n$个盘子的汉诺塔问题需要移动$2^n - 1$次

 

1.2平面上的直线

$n$条直线最多能将平面划分为$\frac{n(n+1)}{2}$ + 1个区域

 

1.3约瑟夫问题

约瑟夫问题：$n$个人围成一个圈，每隔两个人杀死一个人，问最后谁会活下来

设$J(n)$表示答案，$n =(b_{m - 1}\dots b_1b_0bm)2$

$J((b_mb_{m - 1}\dots b_1b_0)_2) = (b_{m - 1}\dots b_1b_0bm)2$

即$J(n) = n_2 \  left \  rotate$(左循环一位)

 

第2章 和式

2.1 记号

$\sum_{k = 1} ^n a_k$

$\sum$后面的量成为被加数(summand)

 

 

$\sum_{k=1}^{\pi(N)}\frac{1}{p_k}$

其中$p_k$表示第$k$个素数，$\pi(N)$是$\leqslant N$的素数的个数。

这个和式给出了接近$N$的随机整数平均而言有多少个素因子，因为那些整数中大约有$1/p$个能被$p$整除，对于大的$N$，它的值近似等于$lnlnN + M$，其中

$$M \approx 0.261 4972128476427837554268386086958590515666$$

是麦尔腾(mertens)常数(百度不到这个人？！)

 

2.2 和式和递归式

将$a_nT_n = b_nT{n - 1} + s_nc_n$转化为和式

$$T_n = \frac{1}{s_na_n}(s_1b_1T_0+\sum_{k = 1}^n s_kc_k)$$

其中$$s_n = \frac{a_{n-1}a_{n-2}\dots a_1}{b_nb_{n-1}\dots b_2}$$

 

 

$H_n = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n} = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k}$

字母$H$表示“调和的”,$H_n$称为一个“调和数”(harmonic number)

 

2.3 和式的处理

设$K$是任意一个有限整数集合，$K$中元素的和式可以用三条简单的法则加以变换：

$$\sum_{k \in K}ca_k = c \sum_{k \in K}a_k$$

$$\sum_{k \in K}(a_k + b_k) = \sum_{k \in K}a_k + \sum_{k \in K}b_k$$

$$\sum_{k \in K}a_k = \sum_{p(k) \in K} a_{p(k)}$$

 

第4章 数论

4.1 整除性

如果$m > 0$且比值$n \mid m$是一个整数，我们就说$m$整除$n$（或者$n$被$m$整除）

$m \mid n \Longleftrightarrow m > 0 $且对某个整数$k$有$n = mk$

如果$m$不整除$n$，我们就写成$m \nmid n$

 

 

两个整数$m$和$n$的最大公因子(greatest common divisor)是能整除他们两者的最大整数

$$gcd(m, n) = max\{k \ that \ k\mid m 且 k \mid n\}$$

4.2 素数

如果一个正整数$p$恰好只有两个因子，即$1$和$p$，那么这个数就称为素数（prime）

 

算术基本定理：有且仅有一种方式将$n$按照素数非减的次序写成素数的成绩

$$n = p_1 \dots p_m = \prod_{k = 1}^m p_k$$

 

4.3 素数的例子

素数有无穷多个

 

形如$2^p - 1$的数，称为梅森素数(Mersenne number)

4.4 阶乘的因子

斯特林公式

$$n! \approx \sqrt{2 \pi n}(\frac{n}{e})^n $$

 

4.5 互素

当$gcd(m,n) = 1$时，整数$m$和$n$没有公共的素因子，我们就称它们是互素的(relatively prime)

若$m \bot n \Longleftrightarrow m,n$是整数，且$gcd(m,n) = 1$

 

Stern-Brocot树：构造由满足$m \bot n$的全部非负的分数$frac{m}{n}$组成的集合

构造方法：首先从$(\frac{0}{1},\frac{1}{0})$出发，每次在两个相邻接的分数$\frac{m}{n}$和$\frac{m'}{n'}$之间插入$\frac{m + m'}{n + n'}$

性质：

1. 如果$\frac{m}{n}$和$\frac{m'}{n'}$是这个构造中任何一个阶段的相邻的分数，我们就有$$m'n - mn' = 1$$

2. 对于分数$\frac{a}{b}$，至多在$a + b$步之后我们一定会得到$\frac{a}{b}$

 

阶为$N$的法里级数(Farey serires)记为$F_n$，它是介于$0$到$1$之间的分母不超过$N$的所有最简分数组成的集合，且按照递增的次序排列

递推方法：$F_n$可以由$F_{n - 1}$中分母之和等于$N$的相邻分数$\frac{m}{n}$和$\frac{m'}{n'}$之间插入分数$\frac{m + m'}{N}$得到。

当$N$是素数时，将会出现$N - 1$个新的分，否则会有少于$N - 1$个新的分数

 

4.9 $\phi $函数和$ \mu $函数

$phi $函数性质

1.$n^{\phi{m}} \equiv p^k - p^{k - 1}$

2.若$p$为素数，$\phi(p^k) = p^k - p^{k - 1}$

因为$\phi$函数为积性函数，因此$$\phi(m) = \prod_{p \mid m}(p^{m_p} - p^{m_p - 1}) = m \prod_{p \mid m}(1 - \frac{1}{p})$$

3.$\sum_{d \mid m} \phi(d) = m$

积性函数

如果$f(1) = 1$，且$$f(m_1m_2) = f(m_1)f(m_2)$$

只要$m_1 \bot m_2$，那么正整数的函数$f(m)$称为是积性的(multiplicative)

 

第6章 特殊的数

6.6 斐波那契数

1.卡西尼不等式
$$F_{n + 1}F_{n - 1} - F_n^2 = (-1)^n, n > 0$$

2.

$$F_{n + k} = F_kF_{n + 1} + F_{k - 1}F_n$$

3.
$F_{kn}$都是$F_n$的倍数，其逆命题也成立

4.如果$n > 2$，则斐波那契数$F_m$是$F_n^2$的倍数，当且仅当$m$是$nF_n$的倍数

5.每一个正整数都可以用斐波那契数唯一表示

$n = F_{k_1} + F_{k_2}+ \dots + F_{k_r}, k_1 \gg k_2 \gg \dots \gg k_r \gg 0$