题外话
我感觉自己的数论笔记从来没有写完过，从极限到微积分到积型函数到FFT
2021.11.10 为啥过了一个晚上就有15个人看了？？？
正题
1.傅里叶变换：
有关傅里叶变换，##先看视频##
2.前置芝士之泰勒展开
（这里不理解也没有什么问题，知道结论即可）
泰勒展开的本质就是用一个多项式来拟合一个函数在\(x_0\)处的变化，为此要做到每一次求导都与原函数相同，以此来拟合函数的变化。
\[g(x)=f(x_0)+f^{'}(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{''}(x-x_0)^2}{2!}+\frac{f^{'''}(x-x_0)^3}{3!}+……+\frac{f^{n}(x-x_0)^n}{n!} \]分母是幂函数求导带来的常数项约去
所以，我们可以用它来展开几个函数：\(e^{ix},i\sin(x),\cos(x)\)其中\(i\)为\(\sqrt{-1}\)
已知：
\[e^x=\sum_{0}^{\infty}\frac{(x-x_0)^n}{n!} \]拓展到复数：
\[e^z=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{z^n}{n!}},z\in C \]放缩：
\[e^{ix}=1+ix-\frac{x^2}{2!}-\frac{ix^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{ix^5}{5!}+\cdots \]已知：
\[\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots \]乘上一个复数：
\[i\sin(x)=\frac{ix}{1!}-\frac{ix^3}{3!}+\frac{ix^5}{5!}-\frac{ix^7}{7!} +\cdots \]已知：
\[\cos(x)=\frac{1}{1}-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots \]得出：
\[e^{ix}=i\sin(x)+\cos(x) \]也就是欧拉公式。
带入\(\pi\)得：
\[e^{i\pi}+1=0 \]可以理解为，随着\(x\)的增大，\(e^{ix}\)也在一个圆上运动。
于是结合上面的视频可以理解傅里叶变换的公式：
这里变成了向量
加负号是因为变换旋转的方向。
普通的傅里叶是\(O(n^2)\)的，而快速傅里叶可以做到\(O(n \log n)\)。
2.前置芝士之复数运算
看到前面的复数运算，有些同学可能已经有点搞不懂了，我一开始也是这样的。
这里就简单讲一下复数的运算，就是数学选修2-2的最后一章，（可以自己看）。
简单来说，复数集是对实数集的一个扩充，在定义上，我们这样来看复数：
\[C=\{a+bi|a , b\in R\} \]我们把这个集合中的数，形如\(a+bi\)的叫做复数，\(i\)是虚数单位，\(C\)是复数集。
为了简洁，我们直接开始四则运算：
\[(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i \] \[(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i \] \[(a+bi)\times(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i \] \[(a+bi)\div(c+di)=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i \]3.前置芝士之多项式卷积
先推荐一个回答
博主讲的很好。\(QWQ\)
像乘法，也可以变成多项式乘法，然后卷积。
\[h(k)=\sum_{i+j=k}f(i)g(j) \]快乐的\(O(n^2)\)
在FFT中，我们就是把两个多项式变成了两组向量，然后两组向量卷积求新的向量。
4.前置芝士之点乘法
n阶的函数由n+1个点唯一确定。
传统的多项式是用系数表示法，我们可以换为点值表示法来表示。
两个与\(x\)有关的多项式：
两个相加就直接加上即可，相乘的话比较麻烦。
因为\(C(x)\)的项数\(2n+1\)，所以两个式子都要补上一堆项，然后项多项式加法一样按位运算。
\[A(x)=(x_0,y_0),(x_1,y_1) \cdots (x_{2n},y_{2n}) \] \[B(x)=(x_0,y_0^{'}),(x_1,y_1^{'}) \cdots (x_{2n},y_{2n}) \]乘法：
\[A(x)B(x)=(x_0,y_0 y_0^{'}),(x_1,y_1 y_1^{'}),(x_{2n},y_{2n} y_{2n}^{'}) \]现在我们见证了奇迹的诞生！！\(O(n)\)的时间复杂度！！！
所以，我们到现在就知道了FFT的流程：
1.得到两个多项式A，B；
2.对于每个多项式，选取n+1个点，得出点值表达\((O(n^2))\)
3.点乘法
4.将\(C(x)\)的点值表达式转化为系数表达式。\(O(n^2)\)
5.前置芝士之拉格朗日插值
虽然没有用，但是还是要讲一下。
插值主要用在将点值表达式转换为系数表达式上，也就是一个\(n\)阶的函数由\(n+1\)个不同的点唯一确定。
常见的插值法是拉格朗日插值法。
由于有n个点，求n-1阶函数。我们先枚举每一个点\(x_i\)，建立一个函数\(f_i(x)\)，使得\(f_i(x_i)=y_i\),而其他的\(x_j,j!=i\)带入，\(f_i(x_j)=0\)。
然后，一整个函数就是由这\(n\)个函数累加起来的和，在没一个点\(x_i\)上的值都对应其\(y_i\)。
然后构造出公式：
\[f(x)=\sum_{i=0}^{n-1} y_i \times \prod_{j!=i} \frac{x-x_j}{x_i-x_j} \]这就可以用来完成FFT的第三步，但是时间复杂度是\(O(n^2)\)。FFT继续优化。
读到这里结合前面的芝士，你已经知道了DFT以及IDFT了，接下来就是FFT的诞生之路
FFT优化之路
6.前置芝士之单位复根
n次的单位复根是满足\(\omega^{n}=1\)的复数\(\omega\),因为\(\omega^{n}\)在复数平面上的模都是一，所以相乘之后还是一，那么所有的\(\omega_{i}\)都会均匀度分布在单位圆上，\(n=8\)时；
我们再考虑欧拉公式:
\[e^{ix}=\cos x+i\sin x \]取\(x=2\pi\)
\[e^{2\pi i}=1=\omega^{n} \]从而：
\[\omega=e^{\frac{2\pi i}{n}} \]把此时的单位根为主次单位根：
\[\omega_n=e^{\frac{2\pi i}{n}} \]对于其他单位根，
\[\omega^k_n=e^{\frac{2\pi i k}{n}},0\le k <n \]第一步的优化：快速傅里叶变换之\(O(n \log n)\)求点值
对一个多项式求点值，我们带入2n个点求点值，并强选\(2^t\)个单位根，保证n为2的整数次幂，那么把\(2^t\)带为n。
得：
\[\omega^k_n=e^{\frac{2\pi i k}{n}},0\le k <n \]有：
\[\omega^{(j+k)\%n}_n=\omega_n^j \times \omega_n^k \]所以多项式\(A(x)\)的点值为：
\[\begin{aligned} A(\omega_n^0) &=a_0+a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{n-1}\\ A(\omega_n^1) &=a_0+a_1\omega_{n}^1+a_2\omega_n^2+a_3\omega_n^4+\cdots+a_{n-1}\omega_{n}^{n-1}\\ A(\omega_n^2)&=a_0+a_1\omega_n^2+a_2\omega_n^4+a_3\omega_n^6+\cdots+a_{n-1}\omega_n^{2n-2}\\ \cdots\cdots&\\ \end{aligned} \]考虑把每个点值按照奇偶分开：
\[A(\omega_n^i)=(a_0+a_2\omega_n^{2i}+a_4\omega_n^{4i}+a_6\omega_n^{6i}+\cdots+a_{n-2}\omega_{n}^{i*(n-2)})+(a_1\omega_n^{i}+a_3\omega_n^{3i}+a_5\omega_n^{5i}+\cdots+a_{n-1}\omega_{n-1}^{(n-1)*i}) \]左边提一个\(\omega_n^i\)
\[A(\omega_n^i)=(a_0+a_2\omega_n^{2i}+a_4\omega_n^{4i}+a_6\omega_n^{6i}+\cdots+a_{n-2}\omega_{n}^{i*(n-2)})+\omega_n^i(a_1+a_3\omega_n^{2i}+a_5\omega_n^{4i}+\cdots+a_{n-1}\omega_{n-1}^{(n-2)*i}) \]然后，把左边变成一个系数为\(a_0,a_2,a_4,a_6\cdots\)的多项式\(FL(x)\),带入\(\omega_{n}^{2i}\)，也就是\(\omega_{n/2}^{i}\)（看上面的芝士即可懂了）。
把右边也变成一个系数为\(a_1,a_3,a_5,a_7\cdots\)的多项式\(FR(x)\),带入\(\omega_{n/2}^{i}\)。
得：
当\(n=8\)时：
\[A(\omega_{n}^0)=FL(\omega_{n/2}^0)+\omega_{n}^0FR(\omega_{n/2}^0) \] \[A(\omega_{n}^1)=FL(\omega_{n/2}^1)+\omega_{n}^1FR(\omega_{n/2}^1) \] \[A(\omega_{n}^2)=FL(\omega_{n/2}^2)+\omega_{n}^2FR(\omega_{n/2}^2) \] \[A(\omega_{n}^3)=FL(\omega_{n/2}^3)+\omega_{n}^3FR(\omega_{n/2}^3) \] \[A(\omega_{n}^4)=FL(\omega_{n/2}^0)+\omega_{n}^4FR(\omega_{n/2}^0) \] \[A(\omega_{n}^5)=FL(\omega_{n/2}^1)+\omega_{n}^5FR(\omega_{n/2}^1) \] \[A(\omega_{n}^6)=FL(\omega_{n/2}^2)+\omega_{n}^6FR(\omega_{n/2}^2) \] \[A(\omega_{n}^7)=FL(\omega_{n/2}^3)+\omega_{n}^7FR(\omega_{n/2}^3) \]这时我们发现前后的值是一样的，就可以折半计算了：
\(T(N)=2T(\frac{N}{2})+O(n)=O(n \log n)\)
啊啊啊啊！！冯巨讲的时候好迷茫现在看来真NB!!
第三步的优化：快速傅里叶逆变换之\(O(n \log n)\)求系数
在前置芝士之拉格朗日插值中，我们在求了\(C(x)\)的点值表达式后，运用拉格朗日插值法，\(O(n^2)\)求出系数表达式。
在这里，我们可以用快速傅里叶变换的优秀性质来进行逆变换。
首先，多项式的点值
我们用\(b_i\)来表示上面的式子进行快速傅里叶变换后的\(A(\omega_{n}^i)\)。
我们对这些\(b_i\)又进行一次快速傅里叶变换:
\[C(\omega_n^{x})=\sum_{i=1}^{n-1}b_i\omega_{n}^{x_i} \]恒等变换：
\[C(\omega_n^{x})=\sum_{i=1}^{n-1}\omega_{n}^{x_i}\sum_{j=1}^{n-1}a_j\omega_{n}{ij} \]基本操作交换sum:
\[C(\omega_n^{x})=\sum_{j=0}^{n-1}\sum_{i=0}^{n-1}\omega_{n}^{i\times (j+x)} \]由单位复根的性质得，当\((j+x)=n\)时，\(j+x\)才有值，后面的\(\sum\)才有意义。
所以：
所以这就得到了系数了，IFFT万岁！！！
后置甜点之代码
首先是递归版本，常数有点大（板子都过不了）
转载大佬的伪代码：
点击查看代码
int Lim = 1, N, M ;
function FFT(int lenth, complex *A, int flag){
IF (Lim == 1) return ;
complex A0[lenth >> 1], A1[lenth >> 1] ;//分成两部分
for(int j : 0 to lenth by_grow 2) A0[j >> 1] = A[j], A1[j >> 1] = A[j + 1] ;
FFT(lenth >> 1, A0, flag) ;
FFT(lenth >> 1, A1, flag) ;
complex Wn = unit(,) , w = (1, 0) ;
//Wn是单位根，w用来枚举幂，即我们令主次单位根不变，由于其余单位根都是其整次幂，所以可以用一个w来记录到第几次幂
/*此处求单位根的时候会用到我们的参数flag……嗯没错就用这一次，并且flag的值域为(-1, 1)……是的，只会有两个值*/
for(int j : 0 to (lenth >> 1) by_grow 1 with w = w * Wn){
A[i] = A0[i] + A1[i] * w ;//应用公式，下同
A[i + (lenth >> 1)] = A0[i] - A1[i] * w ; //顺便求出另一半，由折半引理可显然。
}
}
function Main{
input(N), input(M) ;
for(i : 0 to N by_grow 1) => input(A) ;
for(i : 0 to M by_grow 1) => input(B) ;
while(Lim < N + M) Lim <<= 1 ;//Lim为结果多项式的长度（暂时），化为2的幂的便于分治（二分）
FFT(Lim, A, 1) ;//两遍FFT表示从系数化为点值
FFT(Lim, B, 1) ;
for(i : 0 to Lim by_grow 2) => A[i] *= B[i] ;//点乘法，此处需要重定义乘号，因为每一项现在表示的是一个点，有x和y两个属性qwq
}
cpp:
点击查看代码
void FFT(int Lim,complex *A,int flag){
if(Lim == 1) return ;
complex A0[Lim >> 1], A1[Lim >> 1] ;
for(int i = 0; i <= Lim ; i += 2)
A0[i >> 1] = A[i], A1[i >> 1] = A[i+1] ;
FFT(Lim >> 1, A0, flag) ;
FFT(Lim >> 1, A1, flag) ;
complex unit = (complex){cos(2.0 * Pi / Lim) , flag * sin(2.0 * Pi / Lim)}, w = complex(1, 0) ;//欧拉公式
for(int i = 0;i < (Lim >> 1) ; i ++, w = w * unit) {
A[i] = A0[i] + w * A1[i] ;
A[i + (Lim>>1)] = A0[i] - w*A1[i];
}
}
int main(){
......................
FFT(A, 1), FFT(B, 1) ;
for(i = 0; i <= Lim; i ++) A[i] = A[i] * B[i] ;
FFT(A, -1) ;
......................
}
最后
本蒟蒻的第一篇写完了的数论笔记。
后面来更FFT的优化。
感谢冯巨，
引用:https://www.cnblogs.com/pks-t/p/9251147.html
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