1 - 问题域为 \(\Omega\)

2 - 方程及其变分形式

\[\begin{aligned} -\nabla^2 u(\boldsymbol{x}) &= f(\boldsymbol{x}), \quad &\boldsymbol{x} \in \Omega \\ u(\boldsymbol{x}) &= u_D(\boldsymbol{x}), \quad & \boldsymbol{x} \in \partial\Omega \end{aligned}\]

试函数及其积分：

\[-\int_{\Omega}(\nabla^2 u) v dx = \int_{\Omega} f v dx \]

变分形式：

由 \(\nabla(f\cdot g) = \nabla f \cdot \nabla g\) 可得：（设\(f=\nabla u\) and \(g=v\)）

\[\nabla(\nabla u \cdot v) = (\nabla^2u)\cdot v + \nabla u \cdot \nabla v \]

那么

\[-\int_{\Omega}(\nabla^2 u)vdx = \int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v dx - \int_{\Omega} \nabla(\nabla u \cdot v) dx \]

其中，上式右侧第二项，可通过高斯定理进行化简为：

\[\int_{\Omega} \nabla(\nabla u \cdot v) dx = \int_{\partial\Omega} \nabla u \cdot v \cdot n ds \]

由于 \(v\) 在边界\(\partial\Omega\) 上为 0，因此，上式的值为零。那么，前一个积分公式为：

\[-\int_{\Omega}(\nabla^2 u)vdx = \int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v dx \]

最终得到变分形式：

\[\int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v dx = \int_{\Omega} f v dx \]