反比例函数

2023-12-11 16:17:33

反比例函数

反比例函数 \(y=\cfrac{k}{x}\) (\(k\neq 0\))是小学数学中就学习的内容，但是在高中阶段的数学中，时不时会见到其身影。比如在函数图像变换，函数的单调性，数列的单调性中。。。

典例剖析

以判断函数\(f(x)=ln\cfrac{1+x}{1-x}+sinx\)的单调性为例，说明具体的操作过程。

分析：研究函数的性质，首先研究定义域；

令\(\cfrac{1+x}{1-x}>0\)，解得\(-1<x<1\)，故定义域为\((-1，1)\)；

由于子函数\(y=sinx\)在\((-1，1)\)上单调递增，故接下来重点研究子函数\(y=ln\cfrac{1+x}{1-x}\)的单调性，

又由于子函数为复合函数，外函数为增函数，故令内函数为\(g(x)=\cfrac{1+x}{1-x}\)，重点研究内函数的单调性，

此时使用图像就是比较好的选择，为快速做出图像，先作适当的变换；

\(g(x)=\cfrac{1+x}{1-x}=-1+\cfrac{2}{1-x}=-1-\cfrac{2}{x-1}\)，我们按照下述步骤作函数\(g(x)\)的图像，

①\(y=\cfrac{2}{x}\xrightarrow{f(x)\rightarrow f(x-1)}y=\cfrac{2}{x-1}\)，

②\(y=\cfrac{2}{x-1}\xrightarrow{f(x)\rightarrow -f(x)}y=-\cfrac{2}{x-1}\)，

③\(y=-\cfrac{2}{x-1}\xrightarrow{f(x)\rightarrow f(x)-1}y=-1-\cfrac{2}{x-1}\)，

这样我们由图像能看出来，函数\(g(x)\)在\((-1，1)\)上单调递增，则子函数\(y=ln\cfrac{1+x}{1-x}\)在\((-1，1)\)上单调递增，

故函数\(f(x)=ln\cfrac{1+x}{1-x}+sinx\)在区间\((-1，1)\)上单调递增，到此单调性的判断结束。

当然，还可以借助导数判断其单调性，由于本博文主题的限制，在此不做赘述。

求函数\(f(x)=\cfrac{2+x}{1+x}\)的值域。

分析：函数\(f(x)=\cfrac{2+x}{1+x}=1+\cfrac{1}{1+x}\)，由于\(\cfrac{1}{1+x}\neq 0\)，

则函数\(f(x)\neq 1\)，故值域为\((-\infty，1)\cup (1，+\infty)\)。

解后反思：

1、此类函数是高三的高频函数，其图像常用变换作图得到，

作图顺序：\(y=\cfrac{1}{x}\xrightarrow{向左1个单位}y=\cfrac{1}{x+1}\xrightarrow{向上1个单位} y=1+\cfrac{1}{x+1}\)，

这样的作图变换我们一般要求学生要非常熟练的掌握。

2、函数\(f(x)=\cfrac{2+x}{1+x}\)是中心对称图形，由变换作图的过程就可以知道对称中心是\((-1，1)\)，

其对称性的表达形式满足关系：\(f(x)+f(-2-x)=2\)，这是对称中心图形的另外一种等价且较抽象的说法。

注意：满足关系\(f(x)+f(-2-x)=2\)，等价于这个函数有对称中心\((-1，1)\)，

但是这样的函数不一定就非得是这个函数，因为满足这个关系的函数不止一个。

3、向\(y\)轴作正射影，就能很容易的得到值域。这个方法也可以叫做图像法。

4、函数变换后得到\(f(x)=1+\cfrac{1}{1+x}\)，其中第一个\(1\)，就是从分式中分离出来的常数，为什么这样做？

主要是基于变量集中。变形前的分式的分子分母中都有变量\(x\)，变形后，只有后面的部分含有变量，前面仅仅是常数，

得到这样的表达式后我们要继续研究函数的其他性质往往就更容易些，这样的变形方法也叫部分分式法。