信号与系统01 信号部分

2023-09-24 15:50:57

1. 信号知识点

1. 信号知识点

1.1. 信号的分类

1.1.1. 确定信号和随机信号

确定信号：信号是关于时间的一个函数
随机信号：每一时刻信号的值服从一定的概率分布

1.1.2. 连续时间信号和离散时间信号

模拟信号：时间连续，取值连续
阶梯信号：时间连续，取值离散
抽样信号：时间离散，取值连续
数字信号：时间离散，取值离散

1.1.3. 周期信号和非周期信号

对于连续时间信号，周期信号 \(x(t)\) 的数学表示为

\[x(t) = x(t + kT_0), k \in Z \]

其中，\(T_0\) 为基波周期，基波频率定义为 \(f_0 = 1/T_0\)，基波角频率定位为 \(w_0 = 2\pi f_0 = 2\pi / T_0\)。

对于离散时间周期信号，定义为

\[x[n] = x[n + mN_0], m \in Z \]

其中基波周期 \(N_0\) 只能取整数（由于离散信号只能在整数时刻取值）。

直流信号的周期未定义，周期可以是任意值。

问：两个周期信号之和一定是周期信号吗？
对于连续时间信号，必须要求两个周期\(T_1\)和\(T_2\)存在公倍数（\(\exist n_1, n_2 \in Z, T_1 n_1 = T_2 n_2\)），则两信号之和仍为周期信号，周期为\(T_1\)和\(T_2\)的最小公倍数；
对于离散时间信号，两周期序列之和必是周期序列（离散时间信号的周期为正整数，两正整数之间总存在最小公倍数）。

连续时间与离散时间的虚指数信号的对比

\(e^{jwt}\) 是周期信号，周期为 \(T=\frac{2\pi}{w}\)，频率与信号是一一对应的，且振荡频率随 \(w\) 单调变化。
\(e^{jwn}\) 不一定是周期信号（必须满足 \(w\) 为 \(2\pi\) 的有理数倍才为周期信号），\(w, w+2\pi, w+4\pi,\cdots\) 对应的是同一个信号。当 \(w=\pi\) 信号达到最高频率，当 \(w=0,2\pi\) 信号达到最低频率。

1.1.4. 对称信号和非对称信号

奇信号

\[x(t) = -x(-t), \ x[n] = -x[-n] \]

偶信号

\[x(t) = x(-t), \ x[n] = x[-n] \]

奇谐信号 信号平移半个周期后，与原信号相加为0

\[x(t) + x(t + \frac{T}{2}) = 0,\ x[n] + x[n + \frac{N}{2}] = 0 \]

偶谐信号 信号平移半个周期\(T/2\)后，与原信号相同（本身的周期为\(T/2\)）

\[x(t) = x(t + \frac{T}{2}),\ x[n] = x[n + \frac{N}{2}] \]

任意一个信号 \(x(t)\) / \(x[n]\) 均可以分解为奇信号分量\(x_o(t)\)和偶信号分量\(x_e(t)\)之和，即

\[\begin{aligned} x(t) &= x_o(t) + x_e(t)\x_o(t) &= \frac{1}{2}[x(t) + x(-t)]\x_e(t) &= \frac{1}{2}[x(t) - x(-t)]\\end{aligned} \]

1.1.5. 能量有限信号，功率有限信号，能量功率均无限信号

（1）有限区间内信号的能量和功率

连续时间信号 \(x(t)\) 在 \(t_1 \le t \le t_2\) 内的能量和平均功率为

\[\begin{aligned} E_t &= \int_{t_1}^{t_2} |x(t)|^2 dt\P_t &= \frac{1}{t_2-t_1} E_t \end{aligned} \]

离散时间信号 \(x[n]\) 在 \(n_1 \le n \le n_2\) 内的能量和平均功率为

\[\begin{aligned} E_n &= \sum_{n=n_1}^{n_2} |x[n]| ^2\P_n &= \frac{1}{n_2-n_1+1} E_n \end{aligned} \]

【易错点】：

注意求信号的能量是对信号的模值的平方（特别是复数信号）；
求离散时间信号的平均功率注意序列的个数为 \(n_2-n_1+1\) 而非 \(n_2-n_1\)；

（2）无穷区间内信号的能量和功率

一般计算的对象是周期信号，计算的思路：先计算一/两个周期内（包含正负两个时间方向）信号的能量，再求极限。

对于连续时间信号：

\[\begin{aligned} E_\infty &= \lim_{T\to +\infty} \int_{-T}^{T} |x(t)|^2 dt = \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt\P_\infty &= \lim_{T\to +\infty} \frac{1}{2T} E_{_T} = \lim_{T\to +\infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} |x(t)|^2 dt \end{aligned} \]

对于离散时间信号：

\[\begin{aligned} E_\infty &= \lim_{N\to \infty} \sum_{n=-N}^{N} |x[n]|^2 = \sum_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]|^2\P_\infty &= \lim_{N\to \infty} \frac{1}{2N+1} E_{_N} = \lim_{N\to \infty} \frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{N} |x[n]|^2 \end{aligned} \]

（3）根据信号的能量和功率进行分类

能量有限信号 \(E_\infty < \infty\)，平均功率必为0，一般是持续时间信号有限的信号
功率有限信号 \(P_\infty < \infty\)，信号的能量为无穷，一般是持续时间无限的周期信号
能量和功率均无限信号，诸如 \(x(t)=t\) 等信号

1.1.6. (反)因果信号、非因果信号

因果信号： 信号在0时刻以前没有信号（或0时刻接入）

\[f(t) \equiv 0, t < 0 \]

反因果信号: \(f(t) \equiv 0, t > 0 \)

非因果信号： 信号在0时刻以前不等于0

\[f(t) \not = 0, t < 0 \]

1.1.7. 左边信号、右边信号和双边信号

右边信号： 信号只在某个时间点右边有

\[f(t) \equiv 0, t < t_0 \]

左边信号： 信号只在某个时间点左边有

\[f(t) \equiv 0, t > t_0 \]

双边信号： 既不是左边信号，又不是右边信号

1.2. 典型信号的特点

连续时间的复指数信号形式如下：

\[x(t) = Ce^{at} \]

其中，\(C\) 和 \(a\) 均为复数。

1.2.1. 实指数信号

当 \(C\) 和 \(a\) 均为实数，则 \(a\) 的正负决定波形的单调性。

1.2.2. 虚指数信号

\(C\) 为实数，\(a\) 为纯虚数的信号，例如周期复指数信号为\(x(t) = e^{jwt}\)

1.2.3. 一般的复指数信号

\(C\) 和 \(a\) 至少有一个为复数的信号。设 \(C = |C|e^{j\theta}\) 和 \(a=r+jw\)，由欧拉公式有

\[Ce^{at} = |C|e^{j\theta} e^{(r+jw)t}=|C|e^{rt}e^{j(wt + \theta)} = |C|e^{rt} \cos(wt+\theta) + j |C|e^{rt} \sin(wt+\theta) \]

1.2.4. 离散时间的单位脉冲信号和单位阶跃信号

（1）单位脉冲

\[\delta[n] = \begin{cases} 0, & n \not = 0\1, & n = 0 \end{cases} \]

（2）单位阶跃

\[u[n] = \begin{cases} 0, & n < 0\1, & n \ge 0 \end{cases} \]

（3）离散时间单位脉冲信号和单位阶跃信号的关系

\[\delta[n] = u[n] - u[n-1] = \triangledown u[n] \]

\(\triangledown f(k) = f(k)-f(k-1)\) 表示后向差分，\(\triangle f(k) = f(k+1)-f(k)\) 表示前向差分。

\[u[n] = \sum_{m=-\infty}^{n} \delta[m] \]

单位脉冲和单位阶跃信号为求和和差分的关系，两者互为逆运算。单位阶跃信号可以表示为

\[u[n] = \sum_{m=0}^{+\infty} \delta[n-m] \]

【注意】

和连续时间单位阶跃信号不同，离散时间段额单位阶跃信号在 \(n=0\) 处是有定义的
矩形序列可以表示的为两个单位阶跃信号相减，例如 \(u[n-a]-u[n-b]\) 其实表示的是从 \(a \sim b-1\) 的单位脉冲，而非 \(a \sim b\)

1.2.5. 连续时间的单位冲激信号和单位阶跃信号

（1）单位阶跃信号

\[u(t) = \begin{cases} 0, & t < 0\1, & t > 0 \end{cases} \]

（2）单位冲激信号与单位阶跃信号的关系

\[u(t) = \int_{-\infty}^{t} \delta(\tau) d\tau \]

\[\delta(t) = \frac{\mathrm{d} u(t)}{\mathrm{d}t} \]

【注意】

一般是不讨论的 \(u(t)\) 在 \(t=0\) 处的值，或者认为 \(u(0) = \frac{1}{2}[u(0^+)+u(0^-)=0.5\)
\(u(t)\)的\(t=0\)处就是一个间断点，对其求导可以得到一个冲激信号，其冲激强度为\(u(0^+)-u(0^-)\)
\(\delta(t)\)和\(\delta^\prime(t)\)的性质

1.3. 信号的运算

1.3.1. 信号的(独)自变量的运算

时移

\(x(t)\) 向左平移 2 个时间单位，得到 \(x(t+2)\)；
\(x(t)\) 向右平移 1 个时间单位，得到 \(x(t-1)\)；
\(x(2t)\) 向左平移 3 个时间单位，得到 \(x[2(t+3)]=x(2t+6)\)；
\(x(2t)\) 向y右平移 1 个时间单位，得到 \(x[2(t-1)]=x(2t-2)\)；

时间反转

\(x(t)\) 反褶得到 \(x(-t)\)；
\(x(2t)\) 反褶得到 \(x(-2t)\)；
\(x(2t+3)\) 反褶得到 \(x(-2t+3)\)；

扩展与压缩

若 \(|a| > 1\)，则变换后的信号 \(x(at)\) 是 \(x(t)\) 在时间轴上压缩 \(1/|a|\) 倍的结果；若 \(|a|<1\)，则变换后的信号\(x(at)\) 是 \(x(t)\) 在时间轴上扩展 \(|a|\) 倍的结果。

一般情况下，扩展变换不会改变信号的最大值和最小值，但是对于冲激函数，需要使用展缩特性修改其强度。（扩展导致的面积增大，强度增强，反之强度减小）

1.3.2. 信号的微积分运算

微分运算 通常用符号\(\frac{dx(t)}{dt}\)表示。

【问】：如何处理信号微分运算的间断点，不可导点？

设该间断点为 \(t_0\)，则在该点的导数为一个冲激函数 \(k\delta(t-t_0)\)，其强度为 \(k=x(t_0^+)-x(t_0^-)\)。

有部分信号不存在间断点，但是存在不可导点，如\(x(t) = |t|\) 在 \(t=0\) 处不连续，按照上述定义，其在 \(t=0\) 的冲激强度为 0。

1.3.3. 信号的卷积运算

卷积运算具有交换律，结合律，分配律、微积分特性和时不变性。

交换律: \(f(t)*g(t) = g(t) * f(t)\)

结合律：\([f(t)*g(t)]*h(t) = f(t) * [g(t) * h(t)]\)

分配律：\(f(t)*[g(t) + h(t)] = f(t)*g(t) + f(t)*h(t)\)

时不变性：

\[\begin{aligned} s(t) &= f(t)*g(t)\s(t-t_1-t_2) &= f(t-t_1) * g(t-t_2) \end{aligned} \]

微积分特性：（要求卷积信号在 \(-\infty\) 上的值为0）

\[\begin{aligned} \frac{d f(t)}{dt} * g(t) &= f(t) * \frac{d g(t)}{dt} = \frac{d }{dt}[f(t) * g(t)]\\int_{-\infty}^{t} f(\tau) d\tau * g(t) &= f(t) * \int_{-\infty}^{t} g(\tau) d\tau = \int_{-\infty}^{t} [f(\tau) * g(\tau)] d\tau\f(t) * g(t) &= \int_{-\infty}^{t} f(\tau) d\tau * \frac{dg(t)}{dt} \end{aligned} \]