NOI 2020 D1T2 Destiny

Task

给定 \(n\) 个点的以 \(1\) 为根的有根树，有 \(m\) 条约束，每条约束包含一个点对 \((u,v)\)，满足 \(u\) 是 \(v\) 的祖先，你需要给每条边染成黑白两种颜色，满足对于每条约束，\(u\rightarrow v\) 的路径上都有一条黑边，求合法方案数。

答案对 \(998244353\) 取模。

限制：\(1\le n,m\le 5\times10^5\)

Solution

预处理 \(\text{limit}[u]\) 表示 \(u\) 往上的黑边中，最近的黑边的深度需要大于等于 \(\text{limit}[u]\)。这里的 \(\text{limit}\) 仅考虑以点 \(u\) 为下端点的限制。

用 \(\text{parent[u]}\) 来表示 \(u\) 的父亲结点，设 \(\text{dp}[u][d]\) 表示 \(\text{parent}[u]\) 往上最近的黑边的深度为 \(d\) 的方案数。

设 \(\mathcal V\) 表示点 \(u\) 的儿子集合。

接下来考虑求出 \(\text{dp}[u][d]\)，根据边 \((\text{parent}[u],u)\) 染色的情况分类讨论：

\[\text{dp}[u][d]=[d\ge\text{limit[u]}]\prod_{v\in\mathcal V}\text{dp}[v][d]+\prod_{v\in \mathcal V} \text{dp}[v][\text{dep}[u]] \]

前者是染白的方案数，后者是染黑的方案数。

然后我们考虑对树上的每一个结点开一棵线段树维护 \(\text{dp}\) 数组，具体来说，结点 \(u\) 所对应的线段树的 \([d,d]\) 区间维护了 \(\text{dp}[u][d]\) 的值。

然后我们考虑 \(\text{dp}\) 的转移是如何体现在线段树上的操作的：

1. 我们将线段树的 \(\text{limit}[u]\sim n\) 的位置区间加为 \(1\)，表示这些位置是可以被染成白边的。
2. 我们将 \(u\) 的所有儿子对应的线段树合并起来，也就是对应位置的值相乘，这一步是为了计算染成白边的方案数。
3. 接下来我们查询这棵树上 \(\text{dep}[u]\) 对应的值，全局加上这个值。

总结一下，我们的线段树需要支持

1. 区间加
2. 单点查询
3. 区间对应位置乘

这里需要使用到线段树合并 pushdown 的 trick，只要该点没有左右儿子，就不需要 pushdown。

什么时候，我们才能真正决定自己的命运呢？