目录

• 基本概念
• 群
• 正规子群与同态
• 环与域

基本概念

元素。集合。空集合。子集 。真子集 。\(A=B\Longleftrightarrow A\subseteq B\land B\subseteq A\) 。幂集：一个集合所有子集组成的集合， \(P(A)\) 。交集。并集。性质：幂等性；交换律；结合律；二者之间有分配律。

关系：\(M\times M\) 的子集。即 \(\forall a,b\in M\) ，法则 \(R\) 可以确定 \(a\) 和 \(b\) 符合/不符合这个法则。记做 \(aRb\) 和 \(a\overline Rb\) 。等价关系：满足自反性（ \(\forall a\in M,aRa\) ）、对称性（ \(aRb\Leftrightarrow bRa\) ）和传递性（ \(aRb,bRc\Rightarrow aRc\) ）的关系，用 \(\sim\) 表示，即 \(a\sim b\) 。分类：把集合 \(M\) 的全体元素分为若干互不相交的子集。每个分类与一个等价关系一一对应。

映射：集合 \(A,B\) ，有一个 法则 \(\varphi\) 使得所有的 \(x\in A\) 存在唯一的 \(y\in B\) 与之对应。记作 \(\varphi:x\longrightarrow y\) 或 \(y=\varphi(x)\) 。\(y\) 叫做 \(x\) 在映射 \(\varphi\) 下的像，把 \(x\) 叫做 \(y\) 在映射 \(\varphi\) 下的原像或逆像。
满射：\(B\) 中每个元素在 \(A\) 中都有原像。单射：\(A\) 中不同的元素在 \(B\) 中像不同。双射：满射+单射。
逆映射：只有双射才有逆映射，记为 \(\varphi^{-1}\) 。有限集合满足 \(|A|=|B|\) 且 \(\varphi\) 是 \(A\) 到 \(B\) 的一个映射，则 \(\varphi\) 是满射 \(\Longleftrightarrow\) \(\varphi\) 是单射；推论：得出 \(\varphi\) 是双射。
相等映射 ： \(A\) 到 \(B\) 的映射 \(\sigma\) 和 \(\tau\) 满足 \(\forall x\in A, \sigma(x)=\tau(x)\) 。
映射合成/映射乘法： \(\tau:A\longrightarrow B, \sigma: B\longrightarrow C\) ，则 \(x\longrightarrow \sigma(\tau(x)) (\forall x\in A)\) 是 \(A\) 到 \(C\) 的一个映射，记为 \(\sigma\tau(x)\) 。

代数运算：集合 \(M\) 的对应法则 \(M\times M\longrightarrow M\) ，即任意两个有次序的元素 \(a\) 和 \(b\) 有唯一确定的元素 \(d\) 与它们对应。代数系统：有代数运算的集合。（注意代数运算的封闭性。即 \(d\in M\) ）。用“乘法表”法表示有限集合的代数运算时，注意每列行首（第一列）是参与运算第一个元素，每列列首（第一行）是第二个元素。

变换： 集合 \(A\) 到自身的映射。双射变换也叫一一变换。恒等变换是每个元素与自身对应的变换。含 \(n\) 个元素的任意集合共有 \(n!\) 个双射变换。对于有限集合 \(M=\{1,2,\cdots,n\}\) 的双射变换 \(\varphi\) 可以用 \(\varphi=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\\varphi(1)&\varphi(2)&\cdots&\varphi(n)\end{pmatrix}\) 表示，称为 \(n\) 元置换。\(T(M)\) ： \(M\) 的所有变换的集合。\(S(M)\) ：\(M\) 的所有双射变换的集合，有 \(S(M)\subseteq T(M)\) 。变换乘法：将映射乘法定义在变换上。变换乘法是 \(T(M)\) 的运算，也是 \(S(M)\) 的运算。

结合律： \((M,\circ)\) 满足 \(\forall a,b,c\in M, (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)\) 。有 \(n\) 个元素的运算序列有 \(s=\frac{(2n-2)!}{n!(n-1)!}\) 种加括号形式，满足结合律的代数系统中任意 \(n\) 个元素写成一列后无论怎么加括号，运算结果都相等。
交换律： \((M,\circ)\) 满足 \(\forall a,b\in M, a\circ b=b\circ a\) 。满足交换律和结合律的代数系统中任意 \(n\) 个元素的运算序列中任意加括号和交换元素前后次序，运算结果都相等。
分配律：\(M\) 定义两个运算 \(\circ\) 和 \(\oplus\) ，对任意元素 \(a\circ (b\oplus c)=(a\circ b)\oplus(a\circ c)\) ，称运算 \(\circ\) 对 \(\oplus\) 满足左分配律；右分配律同理。若 \(\oplus\) 满足结合律，则分配律中括号元素可以拓展到任意有限个。

代数系统的同态映射：两个代数系统 \((M,\circ), (\overline M, \overline\circ)\) 和一个映射 \(\varphi:M\longrightarrow \overline M\) 。若 \(\varphi\) 保持运算，即 \(\forall a,b\in M, \overline a=\varphi(a), \overline b=\varphi(b), \varphi(a\circ b)=\overline a\overline \circ\overline b\) ，则称 \(\varphi\) 为代数系统 \(M\) 到 \(\overline M\) 的一个同态映射。 同态满射：同态映射+满射。

代数系统的同态：两个代数系统之间存在同态满射，记作 \(M\sim \overline M\) 。（同态可以理解为代数系统的一个“缩影”。区分同态和同态映射的区别。）同态保持运算的性质，即若 \(\circ\) 满足结合律则 \(\overline \circ\) 满足结合律；若 \(\circ\) 满足交换律则 \(\overline \circ\) 满足交换律；若 \(\circ\) 对 \(\oplus\) 满足分配律且 \(\varphi\) 即是 \((M,\circ)\) 到 \((\overline M,\overline\circ)\) 的同态满射，也是 ， \((M,\oplus)\) 到 \((\overline M,\overline\oplus)\) 的同态满射，则 \(\overline \circ\) 对 \(\overline\oplus\) 满足分配律。

代数系统的同构映射：同态双射。代数系统的同构：存在同构映射。不同构：不存在。同构映射是所有代数系统建的等价关系。自同态映射：\(M\) 到自身的同态映射。自同构映射（自同构）：\(M\) 到自身的同构映射。（同构可以理解为两个代数系统“全等”。）

群

群：非空集合 \(G\) 定义代数运算 \(\circ\) 满足结合律、存在左单位元和左逆元，则称 \(G\) 对 \(\circ\) 作成一个群。

非零有理数乘群/正有理数乘群
数域 \(F\) 一般线性群/ \(n\) 阶线性群： \(GL_n(F)\)，数域 \(F\) 上全体 \(n\) 阶满秩方阵对矩阵普通乘法成群；特殊线性群 \(SL_n(F)\) ：全体行列式为 1 的方阵对矩阵普通乘法成群，是 \(GL_n(F)\) 子群
\(n\) 次单位根组成的群 \(U_n\) 是 \(n\) 阶有限交换群
四元数群 \(G=\{1,i,j,k,-1,-i,-j,-k\}\) 是一个 8 阶非交换群

不是群：半群（只满足结合律），幺半群（有单位元的半群）。半群中可以没有单位元，可以只有左/只有右单位元（可以有多个左/右单位元），如果左右单位元都有则相等且惟一，作成幺半群。正整数集对乘法构成幺半群，对加法构成半群。

交换群/可换群/Abel群： \(\circ\) 还满足交换律的群。一个交换群的运算叫做加法并用 \(+\) 表示时，称为加群。加群中，单位元用 \(0\) 表示，称为零元，元素 \(a\) 的逆元用 \(-a\) 表示，称为 \(a\) 的负元。整数对加法作成加群（整数加群）。

有限群/无限群：看元素个数是否为有限个；阶（ \(|G|\) ）用来表示有限群元素个数，无限群的阶称为无限。

群的左单位元和右单位元相等且惟一，称为单位元。
群中每个元素的左逆元和右逆元相等且惟一，称为逆元。

群中消去律成立：\(ab=ac\Rightarrow b=c,ba=ca\Rightarrow b=c\)
群的充要条件：半群中 \(ax=b\) 和 \(ya=b\) 都有解。先证单位元，后证逆元。
有限半群消去律成立则成群。

定义群中乘法的指数 \(a^0=e\) ，\(a^n\) 表示 \(n\) 个 \(a\) 连起来做乘法， \(a^{-n}=(a^{-1})^n\) ，则有 \(a^ma^n=a^{m+n}, (a^m)^n=a^{mn}\) 。 元素的阶：\(a^n=e\) 的最小的 \(n\) ，不存在就是无限。

每个元素阶都有限就是周期群，都无限就无扭群，否则称为混合群。
有限群的每个元素阶有限。有限阶元素满足 \(a^{m}=e\Leftrightarrow |a||m\) ，\(|a^k|=\frac{|a|}{\gcd(k,|a|)}\) 。

交换群满足 \(\gcd(|a|,|b|)=1\rightarrow|ab|=|a||b|\) 。若不是交换群，不满足，可以出现无限。
交换群元素有最大阶，则每个元素阶为最大阶因数。

子群：群 \(G\) 的子集 \(H\) 对乘法也成群，记为 \(H\leqslant G\) 。平凡子群为 \(G\) 和单位元群，其它为非平凡子群或真子群，记为 \(H<G\) 。子群单位元是原群单位元，子群元素逆元是原群元素逆元。

\(H\le G\) 的充要条件是 \(\forall a,b\in H, ab\in H\land a^{-1}\in H\)；还是 \(\forall a,b\in H, ab^{-1}\in H\) 。
有限子集 \(H\le G\) 的充要条件是 \(\forall a,b\in H, ab\in H\) 。

中心元素：和其它元素都可换的元素。只有单位元可换的群是无中心群。中心元素组成的集合是一个交换子群，称为中心，记为 \(C(G)\) 。

群子集乘积：\(AB=\{ab|a\in A,b\in B\}\) ，即每对元素对应相乘组成的子集。
群子集的逆：\(A^{-1}=\{a^{-1},a\in A\}\)每个元素对应逆元组成集合。

子集成群的充要条件：\(HH=H\) 且 \(H^{-1}=H\) ；\(HH^{-1}=H\) ；
有限子集成群的充要条件：\(HH=H\)。
两个子群乘积成群 \(HK\le G\) 的充要条件：\(HK=KH\) 。交换群子群乘积一定是子群。

群 \(G\) 关于子群 \(H\) 左陪集： \(a\in G, aH=\{ax|x\in H\}\) ，右陪集类似定义。

\(a\in aH\) 。若 \(a\in H\) 则 \(aH=H\) 。
\(a,b\) 属于同一个左陪集 \(\Leftrightarrow b\in aH\Leftrightarrow aH=bH\Leftrightarrow a^{-1}b\in H\)
若 \(aH\cap bH\neq \varnothing\) ，则 \(aH=bH\) （任意两个陪集要么相等要么无公共元素）。
表明 \(G\) 关于 \(H\) 的全体不同左陪集构成 \(G\) 元素的分类。

用 \(aH,bH,cH\) 代表 \(G\) 关于 \(H\) 的所有不同左陪集，则 \(G\) 关于 \(H\) 左陪集分解为 \(G=aH\cup bH\cup cH\cup \cdots\) ，称 \(\{a,b,c,\cdots\}\) 为 \(G\) 关于 \(H\) 的左陪集代表系。
左陪集和右陪集之间存在双射： \(aH\rightarrow Ha^{-1}\) ，即要么二者个数都无限，要么个数相等。

指数：子群 \(H\) 在群 \(G\) 中的互异的陪集个数，记为 \((G:H)\) ，可能为无限。

Lagrange 定理：若 \(H\) 是有限群 \(G\) 的一个子群，则 \((G:H)=\frac{|G|}{|H|}\) 。任何子群的阶和指数都是群的阶的因数。证法：任意两个陪集之间存在双射，因此陪集之间元素个数相等。有限群每个元素的阶整除群的阶（元素生成群的阶为元素的阶，且生成群为子群）。
推广：有限群 \(G\) ，若 \(K\le H\le G\) ，则满足 \((G:H)(H:K)=(G:K)\) 。

乘法：若 \(K\le H\le G\) 且 \(A=\{a_1,a_2,\cdots\}\) 和 \(B=\{b_1,b_2,\cdots\}\) 为 \(G\) 关于 \(H\) 和 \(H\) 关于 \(K\) 的左陪集代表系时，\(AB=\{a_ib_j|a_i\in A,b_j\in B\}\) 为 \(G\) 关于 \(K\) 的一个左陪集代表系。

群 \(G\) 的两个有限子群 \(H,K\) 满足 \(|HK|=\frac{|H|\cdot|K|}{|H\cap K|}\)
证明方法为：将 \(H\) 写为 \(H\cap K\) 的陪集分解：
\(H=h_1(H\cap K)\cup H_2(H\cap K)\cup\dots\cap h_m(H\cap K)\) ，然后两边同时乘以 \(K\) 。
得到 \(HK\) 是若干不相交且与 \(K\) 同大小的集合并 \(HK=h_1K\cup h_2K\cup \cdots\cup h_mK\) 。
由于 \(|HK|=m|K|\) 且 \(|H|=m|H\cap K|\) 。
推论：\(p, q\) 是素数且 \(p<q\) ， 则 \(pq\) 阶群最多有一个 \(q\) 阶子群。两个不同子群不满足定理。

循环群：可以由一个元素生成的群。生成系：群 \(G\) 包含子集 \(M\) 的最小群，记为 \(\langle M\rangle\) 。循环群记作 \(G=\langle a\rangle\) 。循环群是交换群。由 Lagrange 定理，所有素数阶群都是循环群。
所有无限循环群与整数加群同构。\(n\) 阶有限循环群与 \(n\) 次单位根群 \(U_n\) 同构。
\(n\) 阶循环群一定有 \(n\) 阶元素，都是生成元，且有 \(\varphi(n)\) 个。无限循环群有两个生成元。
\(n\) 阶循环群有 \(d(n)\) 约数个数个子群，无限循环群有无限个子群。

变换群：变换关于变换乘法组成的群。注意，\(T(M)\) 关于变换乘法组成幺半群。\(S(M)\) 关于变换乘法是双射变换群，称为 M 上的对称群。\(|M|=n\) 时称为 \(n\) 阶对称群 \(S_n\) 。

双射变换群：全为双射变换的变换群，非双射变换群全为非双射变换的变换群。
双射变换群的充要条件为含有单/满射变换。证明：先证明存在一个单位元是恒等变换，再证明所有元素都有逆元而必须是双射变换才能在恒等变换下有逆元。
双射变换群以恒等变换为单位元。非双射变换群不能包含任何双射/单射/满射变换。

任何群都和一个双射变换群同构。证明：对于一个群，在它上面先成构造一个双射变换群：\(G\) 的 \(\bar G=\{\tau|\tau_a:x\to ax\}\) ，顺便证明一个他是个群，然后再证明之间的一个同构映射。

置换群：\(n\) 元对称群的子群。

轮换/循环：把 \(i_j\) 变为 \(i_{j+1}\) 最后把 \(i_k\) 变为 \(i_1\) 的一个置换而别的不变，称为 \(k\) -轮换/循环。\(2\) -轮换称为对换，\(i\) 互不相同的轮换称为不相连轮换。不相连轮换的乘法可交换。置换可以表示为若干不相连轮换积，轮换可以表示为若干对换积，因此置换可以表示为若干对换积。置换分解为奇数个对换的积称为奇置换，偶数个称为偶置换，恒等置换为偶置换。

置换群要么全是偶置换，要么奇偶各占一半，且群内全体偶置换构成一个子群。
全体 \(n\) 偶置换的群 \(A_n\) 称为 \(n\) 元交代群（交错群）。

Klein四元群： \(K_4=\{(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}\) 是 \(A_4\) 的一个交换子群。

\(k\) -轮换的阶为 \(k\)，不相连轮换乘积的阶为各轮换的阶的最小公倍数。

\(n\) 元置换 \(\sigma\) 和 \(\tau=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\i_1&i_2&\cdots&i_n\end{pmatrix}\) 满足 \(\sigma\tau\sigma^{-1}=\begin{pmatrix}\sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(n)\\\sigma(i_1)&\sigma(i_2)&\cdots&\sigma(i_n)\end{pmatrix}\) 。

正规子群与同态

咕咕咕

环与域

一个交换群的运算叫做加法并用 \(+\) 表示时，称为加群。加群中，单位元用 \(0\) 表示，称为零元，元素 \(a\) 的逆元用 \(-a\) 表示，称为 \(a\) 的负元。减法： \(a-b=a+(-b)\) ，称为加法的逆运算。群中的指数写法改为倍数的写法。

环：\(R\) 定义两个运算，一个叫加法（ \(+\) ），另一个叫乘法。若 \((R,+)\) 是一个加群（可交换的群），\(R\) 对乘法满足结合律，乘法对加法满足左右分配律，则称 \(R\) 对这两个代数运算作成一个环。交换环：乘法满足交换律的环。

例如：数域 \(F\) 上全体多项式的集合对多项式加法、乘法作成多项式环。
数域 \(F\) 上全体 \(n\) 阶方阵的集合对矩阵加法和矩阵乘法作成 \(n\) 阶全阵环。
数域 \(F\) 上的一个线性空间全体线性变换的集合对线性变换加法和乘法作成线性变换环。
对加群中 \(\forall a,b\) 规定乘法 \(ab=0\) 称为零乘环。

不是环：非结合环（不要求满足乘法结合律）、拟环（不要求加法可换）、半环（加法只要求作成半群）

有限环/无限环：看元素个数是否为有限个；阶（ \(|R|\) ）用来表示有限环元素个数，无限环的阶称为无限。子环 ：环 \(R\) 的非空子集 \(S\) 对原来的加法和乘法都做成环，称 \(S\leqslant R\) 。子环的充要条件是 \(a,b\in S\Rightarrow a-b\in S,ab\in S\) 。环的非空有限子集成环只需要运算的封闭性（与群的结论类似）。特征：环中元素对加法的最大阶，记作 \(\operatorname{char} R\) 。无最大阶的称特征为无限（或零），有限群特征都有限，无限群可能有限也可能为无限。

左/右单位元：对乘法满足 \(\forall a,ea=a\) 的元素 \(e\) 称为左单位元，右单位元同理。环中可以没有单位元，可以只有左/只有右单位元（可以有多个左/右单位元），如果左右单位元都有，则惟一且相等（ \(e_le_r=e_l=e_r\) ），称为单位元，用 \(1\) 表示。有单位元的环称为幺环，这个定义课本和ppt上没有。幺环的特征是单位元的加法阶（有限的证明：\(na=(n\cdot1)a=0a=0\) 。）

环对乘法的性质：零元满足 \(0a=a0=0\) ；\((-a)b=a(-b)=-(ab)\) ；\((-a)(-b)=ab\) ；\(c(a-b)=ca-cb\) ；\((a-b)c=ac-bc\) （减法分配律）；\((\sum_i a_i)(\sum_i b_j)=\sum_i\sum_j(a_ib_j)\) （多元分配律）；\((ma)(nb)=(mn)(ab)\) 。乘法的幂： \(n>0\) 时：则有 \(a^n\) 代表 \(n\) 个 \(a\) 连续相乘；幺环可用 \(a^0=1\) ；幺环且元素 \(a\) 有乘法逆元 \(a^{-1}\) 时，可定义 \(a^{-n}=(a^{-1})^n\) 。

环上的矩阵是把环上的元素写成矩阵形式；由此可定义相等、元素与矩阵乘法、矩阵加法、矩阵乘法。环 \(R\) 上全体 \(n\) 阶方阵关于矩阵加法、矩阵乘法又作成一个环，称为 \(R\) 上的 \(n\) 阶全阵环（ \(R_{n\times n}\) ）。对幺环 \(R\) ，\(R_{n\times n}\) 也有单位元 \(E=\begin{pmatrix}1&&0\\&\ddots\\0&&1\end{pmatrix}\) 。

循环环：环关于其加法是一个循环群的环。设 \((R,+)=\langle a\rangle\) ，若指明 \(a^2=ka\) ，则可以以此表示环。例如无限循环环表示为 \(R=\{\cdots,-2a,-a,0,a,2a,\cdots\},a^2=ka,k\in Z\) ；有限循环环表示为 \(R=\{0,a,2a,\cdots,(n-1)a\},a^2=ka,0\le a\le n-1, k\in Z\) 。 循环环一定是交换环，但不一定是幺环。\(\mu(|R|)\neq 0\) 的环（含素数阶环）都是循环环。

零因子： \(a\neq 0,b\neq0, ab=0\) 则 \(a\) 称为左零因子， \(b\) 称为右零因子，统称零因子。既不是左零因子又不是右零因子的元素称为正则元。消去律：若 \(a\) 不是左零因子也不是零元，则 \(ab=ac\Rightarrow b=c\) ，右类似。没有左零因子的环对于所有 \(a\neq 0\) 都有上式，称满足左消去律，右消去律类似定义，则无零因子环满足消去律。

无零因子环的性质：
非零元素对加法阶都相等（证明： \(\forall a,b, a(|a|b)=(|a|a)b=0\rightarrow |a|b=0,|b|||a|\) ）；
特征不是无限就是素数（证明：尝试分解 \(n\) 发现 \((n_1a)(n_2a)=0\) ）；
特征是素数 \(p\) 的交换环满足 \((a_1+\cdots+a_n)^p=a_1^p+\cdots+a_n^p\)

整环：阶大于 \(1\) 无零因子的交换幺环。

除环（体）：阶大于 \(1\) （无零因子）的可逆（幺）环。(p.s.只需要可逆就可以推出幺和无零因子）充要条件：\(\forall a\neq 0,b,ax=b\) 在 \(R\) 中有解。先证明无零因子，再证明 \(ax=a\) 的解是单位元，再证明每个非 \(0\) 元都有逆元即 \(ax=e\) 的解且可换。

域：交换除环。除环中注意 \(a^{-1}b\) 和 \(ba^{-1}\) 不一定相等，域中一定相等，因此可以写为 \(\frac ba\) ，并且“分数”满足一般分数判等、加法、乘法、除法的规则。

数域是域。整数环是整环，但不是除环。
四元数除环 \(D=\{a\cdot 1+bi+cj+dk|a,b,c,d\in R\}\) 不可换，是除环不是域。

定义	无零因子	单位元	非零可逆	可交换
整环	True	True	有限	True
除环	True	True	True	有限（魏德邦定理）
域	True	True	True	True

阶大于 \(1\) 的有限环若有非零且非零因子元，则必有单位元，且每个非零且非零因子元都可逆。证明它的幂中有等，从而得出单位元和逆元。因此阶大于 \(1\) 无零因子的有限环必为域。

子除环、子域：\(F_1\) 是 \(F\) 的子域的充要条件是减法和除法封闭。

整环的分式域（商域）：（类比整数和有理数）整环 \(R\) 是 域 \(K\) 的子环，定义 \(F=\{\frac ba=a^{-1}b|0\neq a,b\in R\}\) 为 \(K\) 的一个子域，且包含 \(R\) 为其子环，是包含 \(R\) 的最小域。（强行把整环塞入除法的元素进去然后变成域？）同构整环的分式域必同构。

单位：有单位元环的可逆元；乘群/单位群：全体可逆元对乘法作成的群，写作 \(U(R)\) 或 \(R^*\) 。Gauss 整环 \(Z[\mathrm i]=\{a+b\mathrm i|a,b\in Z\}\) 作成一个整环，且单位群是 \(U_4\) 。