SkipList在Leveldb以及lucence中都广为使用，是比较高效的数据结构。由于它的代码以及原理实现的简单性，更为人们所接受。首先看看SkipList的定义，为什么叫跳跃表？
"Skip lists are data structures that use probabilistic balancing rather than strictly enforced balancing. As a result, the algorithms for insertion and deletion in skip lists are much simpler and significantly faster than equivalent algorithms for balanced trees."
译文：跳跃表使用概率均衡技术而不是使用强制性均衡，因此，对于插入和删除结点比传统上的平衡树算法更为简洁高效。
我们看一个图就能明白，什么是跳跃表，如图1所示：
图1.跳跃表简单示例
如上图所示，是一个简单的跳跃表。传统意义的单链表是一个线性结构，向有序的链表中插入一个结点需要O(n)的时间，查找操作需要O(n)的时间。如果我们使用图1所示的跳跃表，就可以减少查找所需时间为O(n/2)，因为我们可以先通过每个结点的最上面的指针进行查找，这样子就能跳过一半的结点。比如我们想查找19，首先和6比较，大于6之后，再和9进行比较，然后再和12进行比较...... 最后比较到21的时候，发现21大于19，说明查找的点在17和21之间，从这个过程中，我们可以看出，查找的时候跳过了3、7、12等点，因此查找的复杂度为O(n/2)。查找的过程如下图2：
图2.跳跃表查找操作简单示例
其实，上面基本上就是跳跃表的思想，每一个结点不单单只包含指向下一个结点的指针，可能包含很多个指向后续结点的指针，这样就可以跳过一些不必要的结点，从而加快查找、删除等操作。对于一个链表内每一个结点包含多少个指向后续元素的指针，这个过程是通过一个随机函数生成器得到，这样子就构成了一个跳跃表。这就是为什么论文"Skip Lists:A Probabilistic Alternative to Balanced Trees"中有“概率”的原因了，就是通过随机生成一个结点中指向后续结点的指针数目。随机生成的跳跃表可能如下图3所示：
图3.随机生成的跳跃表
跳跃表的大体原理，我们就讲述到这里。下面我们将从如下几个方面来探讨跳跃表的操作：
1、重要数据结构定义
2、初始化表
3、查找
4、插入
5、删除
6、随机数生成器
7、shi'fang'bi释放表
8、性能比较
（一）重要数据结构定义
从图3中，我们可以看出一个跳跃表示由结点组成，结点之间通过指针进行连接。因此我们定义如下数据结构：
//定义key和value的类型
typedef int KeyType;
typedef int ValueType; //定义结点
typedef struct nodeStructure* Node;
struct nodeStructure {
KeyType key;
ValueType value;
//定义指针数组，数组的元素为Node型指针
//这里不太明白作者为什么只定义一个长度的，因为显然会有很多个向前的结点，即我们需要对forward[1]、forward[2]...等赋值
//实际上，这造成了数组的越界访问。
/*
在vs2017中试着这样定义指针数组，然后赋多个值，但运行时报错：
"stack around the variable “XX” was corrupted."“在变量xx周围的堆栈已损坏”，实际是因为
在堆栈外面读写了数据造成的，即存在数组越界了。错误是名为RTC1的编译器检测，虽然可通过配置编译器的属性避免这种
错误，但还是存在风险。当项目很大时，占用的堆栈量就会变得很大，很容易造成溢出
*/ Node forward[];
}; //定义跳跃表
typedef struct listStructure* List;
struct listStructure {
int level; //当前跳跃表内结点中最大的层数
Node header; //首结点
};
每一个结点都由3部分组成，key（关键字）、value（存放的值）以及forward数组（指向后续结点的数组）。通过这些结点，我们就可以创建跳跃表List，它是由两个元素构成，首结点以及level（当前跳跃表内最大的层数或者高度）。这样子，基本的数据结构定义完毕了。
（二）初始化表
初始化表主要包括两个方面，首先就是header结点和NIL结点的申请，其次就是List资源的申请。
void SkipList::NewList()
{
//设置NIL结点
NewNodeWithLevel(, NIL_); //NIL_结点的申请，其为结束结点，设为0层
NIL_->key = 0x7fffffff;
//设置链表List
list_ = (List)malloc(sizeof(listStructure)); //为List开辟内存
list_->level = ; //初始层数设为0
//设置头结点
NewNodeWithLevel(MAX_LEVEL, list_->header);//设置头结点：开辟头结点的内存和层数
for (int i = ; i < MAX_LEVEL; ++i)
list_->header->forward[i] = NIL_; //头结点中的指向前向结点的指针都初始为结束结点
//设置链表元素的数目
size_ = ; //为List成员变量，记录链表中结点的个数，初始值为0
} void SkipList::NewNodeWithLevel(const int& level, Node& node)
{
//新结点空间大小
int total_size = sizeof(nodeStructure) + level * sizeof(Node);
//申请空间
node = (Node)malloc(total_size);
assert(node != NULL);
}
其中，NewNodeWithLevel是申请结点（总共level层）所需的内存空间。NIL_结点会在后续全部代码实现中看到。
（三）查找
查找就是给定一个key，查找这个key是否出现在跳跃表中，如果出现，则返回其值，如果不存在，则返回不存在。我们结合一个图讲解查找操作，如下图4所示：
图4.查找操作前的跳跃表
如果我们想查找19是否存在，如何查找呢？我们从头结点开始，首先和9进行判断，此时大于9，然后和21进行判断，小于21，此时这个值肯定在9结点和21结点之间；此时，我们和17进行判断，大于17，然后和21进行判断，小于21，此时肯定在17结点和21结点之间，此时和19进行判断，找到了。具体示意图如图5所示：
图5.查找操作后的跳跃表
bool SkipList::Search(const KeyType& key, ValueType& value)
{
Node x = list_->header; //x初始为头结点
int i;
//从最高层开始，依次向前搜索，然后向下搜索
for (i = list_->level; i >= ; --i)
{
//如果结点的key值小于查找的key值，就持续在当前层向前寻找，
//直到当前结点当前层指向的前向结点的key值大于要查找的key值为止
while (x->forward[i]->key < key)
x = x->forward[i];
}
//上面的for循环保证了x->forward[0]中的x总是在要查找的结点的前一结点
x = x->forward[];
//查找到赋值，并返回true，否则返回false
if (x->key == key)
{
value = x->value;
return true;
}
else
return true; } /*
其实原作者的这个for循环写得不好，每次查找都要遍历到i<0时才结束，但其实有些查找不需要如此处理
比如查找的是key是9，在x->forward[0]->key时已经
可以找到了，但循环并未结束，还会继续执行，最终要通过结点7的前向结点指针来找到。做了挺多次无用的循环
*/
（四）插入
插入包括如下几个操作：
1、查找到需要插入的位置
2、申请新的结点
3、调整指针
我们结合下图6进行讲解，查找路径如下图的灰色的线所示，申请新的结点如17结点所示，调整指向新结点17的指针以及17结点指向后续结点的指针。这里有一个小技巧：使用update数组保存原List中大于17结点的位置，这样当插入17结点时，就调整update数组和17结点的指针、17结点和原List中update数组指向的结点的指针。update数组的内容如红线所示，这些位置才是有可能更新指针的位置。
bool SkipList::Insert(const KeyType& key, const ValueType& value)
{
Node update[MAX_LEVEL];
int i;
Node x = list_->header;
//寻找key所要插入的位置
for (i = list_->level; i >= ; i--)
{ while (x->forward[i]->key < key)
x = x->forward[i]; //大于key时跳出while循环
//保存大于key的位置信息
update[i] = x;
} x = x->forward[];
//如果key已经存在
if (x->key == key)
{
x->value = value;
return false;
}
else
{
//随机生成新结点的层数
int level = RandomLevel();
//如果大于最大层数
//为了节省空间，采用比当前最大层数加1的策略
if (level > list_->level)
{
level = ++list_->level; //list_->level保存跳跃表中最大的层数，所以需要自加1
update[level] = list_->header;
} //申请新的结点
Node newNode;
NewNodeWithLevel(level, newNode);
newNode->key = key;
newNode->value = value; //调整forward指针
for (int i = level; i >= ; --i)
{
x = update[i];
//插入后，新结点的前向变为插入前的前向
newNode->forward[i] = x->forward[i];
//插入前的前向则变为新结点
x->forward[i] = newNode;
} //更新元素数目
++size_; return true;
}
}
（五）删除
删除操作类似于插入操作，包含如下3步：
1、查找到需要删除的结点
2、删除结点
3、调整指针
bool SkipList::Delete(const KeyType& key, ValueType& value)
{
Node update[MAX_LEVEL];
int i;
Node x = list_->header;
//寻找要删除的结点
for (i = list_->level; i >= ; --i)
{
while (x->forward[i]->key < key)
{
x = x->forward[i];
}
update[i] = x;
} x = x->forward[];
//结点不存在
if (x->key != key)
return false;
else
{
value = x->value;
//调整指针
for (i = ; i <= list_->level; ++i)
{
//删除的结点只出现在update数组的低层级中
//所以for循环从低开始
//当遇到第1个高的层级的前向结点不等于要删除的结点时，break跳出循环
if (update[i]->forward[i] != x)
break;
//若相等，则将update的前向结点指向x的前向结点，因为x要删除掉，指向其的结点要改变为其的前向结点
update[i]->forward[i] = x->forward[i];
} //删除结点
free(x);
//更新level的值，有可能会变化，造成空间的浪费
while (list_->level >
&& list_->header->forward[list_->level] == NIL_)
--list_->level; //更新链表元素数目
--size_; return true;
}
}
（六）随机数生成器
再向跳跃表插入新的结点时，我们需要生成该结点的层数，使用的就是随机数生成器，随机的生成一个层数。这部分严格意义上讲，不属于跳跃表的一部分。随机数生成器说简单很简单，说难也很难，看你究竟是否想生成随机的数。可以采用C语言中srand()以及rand()函数，也可以自己设计随机数生成器。
此部分我们采用levelDB随机数生成器：
// Copyright (c) 2011 The LevelDB Authors. All rights reserved.
// Use of this source code is governed by a BSD-style license that can be
// found in the LICENSE file. See the AUTHORS file for names of contributors. #include <stdint.h> //typedef unsigned int uint32_t;
//typedef unsigned long long uint64_t; // A very simple random number generator. Not especially good at
// generating truly random bits, but good enough for our needs in this
// package.
class Random {
private:
uint32_t seed_;
public:
explicit Random(uint32_t s) : seed_(s & 0x7fffffffu) {
// Avoid bad seeds.
if (seed_ == || seed_ == 2147483647L) {
seed_ = ;
}
}
uint32_t Next() {
static const uint32_t M = 2147483647L; // 2^31-1
static const uint64_t A = ; // bits 14, 8, 7, 5, 2, 1, 0
// We are computing
// seed_ = (seed_ * A) % M, where M = 2^31-1
//
// seed_ must not be zero or M, or else all subsequent computed values
// will be zero or M respectively. For all other values, seed_ will end
// up cycling through every number in [1,M-1]
uint64_t product = seed_ * A; // Compute (product % M) using the fact that ((x << 31) % M) == x.
seed_ = static_cast<uint32_t>((product >> ) + (product & M));
// The first reduction may overflow by 1 bit, so we may need to
// repeat. mod == M is not possible; using > allows the faster
// sign-bit-based test.
if (seed_ > M) {
seed_ -= M;
}
return seed_;
}
// Returns a uniformly distributed value in the range [0..n-1]
// REQUIRES: n > 0
uint32_t Uniform(int n) { return (Next() % n); } // Randomly returns true ~"1/n" of the time, and false otherwise.
// REQUIRES: n > 0
bool OneIn(int n) { return (Next() % n) == ; } // Skewed: pick "base" uniformly from range [0,max_log] and then
// return "base" random bits. The effect is to pick a number in the
// range [0,2^max_log-1] with exponential bias towards smaller numbers.
uint32_t Skewed(int max_log) {
return Uniform( << Uniform(max_log + ));
}
};
其中核心的是seed_(seed_ * A)%M这个函数，并且调用一次就重新更新一个种子seed，以达到随机性。
根据个人喜好，自己可以独立设计随机数生成器，只要能够返回一个随机的数字即可。
（七）释放表
释放表的操作比较简单，只要像单链表一样释放即可，释放表的示意图8如下：
void SkipList::FreeList()
{
Node p = list_->header;
Node q;
//释放链表所占的内存空间
while (p != NIL_)
{
q = p->forward[];
free(p);
p = q;
}
free(p);
free(list_);
}
（八）性能比较
我们对跳跃表、平衡树等进行比较，如下图9所示：
从中可以看出，随机跳跃表现性能很不错。
C++实现的代码包含以下几个文件：
1、Main.cpp 主要用于测试SkipList
2、skiplist.h 接口声明以及重要数据结构定义
3、skiplist.cpp 接口的具体实现‘
4、 random.h 随机数生成器